تمرين 9 منصف الزاوية والاستقامة

1) ابنِ مثلثاً ABC: BC=5cm، AC=7cm، AB=8cm.

2) أ- ابنِ I تقاطع منصف الزاويتين ABC و ACB. ب- أثبت أن [AI] منصف الزاوية BAC.

3) D تقاطع [BI] مع [AC]. ابنِ J تقاطع منصف الزاويتين ADB و ABD.

4) أثبت أن A و I و J على استقامة واحدة.

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• منصف الزاوية = مستقيم يقسمها إلى زاويتين متساويتين.

• منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة فقط.

• في س4: فكر في أن I و J يقعان كلاهما على منصف الزاوية عند A في مثلثين مختلفين.

📝 الطريقة

• س2-ب: I = تقاطع منصفَي B وC → بخاصية تقاطع منصفات زوايا المثلث، I هي مركز الدائرة المحاطة، إذن هي على المنصف الثالث (عند A).

• س3-4: J = تقاطع منصفَي الزاويتين عند A وB في المثلث ADB → J تقع على منصف الزاوية عند A في ADB = نفس منصف الزاوية BAC الذي يحمله I. إذن A وI وJ على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

1) بناء المثلث ABC:

نرسم [BC]=5cm. بالفرجار: دائرة مركزها B نصف قطرها 8cm، ودائرة مركزها C نصف قطرها 7cm → تقاطعهما = A.

2) بناء I وإثبات [AI] منصف الزاوية BAC:

نرسم منصف الزاوية عند B ومنصف الزاوية عند C → يتقاطعان في I. بخاصية تقاطع منصفات زوايا المثلث: منصفات الزوايا الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة. إذن I تقع على منصف الزاوية عند A أيضاً → (AI) منصف الزاوية BAC. ✓

3) بناء J:

D = [BI] ∩ [AC]. نرسم منصف الزاويتين عند A وB في المثلث ADB → يتقاطعان في J.

4) A وI وJ على استقامة واحدة:

في المثلث ABC: (AI) منصف الزاوية BAC → I على منصف الزاوية عند A. في المثلث ADB: J = تقاطع منصفَي A وB → J على منصف الزاوية عند A في ADB. الزاوية عند A في ADB هي نفسها BAC (D على [AC]) → المنصفان متطابقان → I وJ على نفس المستقيم من A. إذن A وI وJ على استقامة واحدة. ✓