تمرين رقم 14 المثلث المتقايس الأضلاع والاستقامة

ارسم مثلثاً \(ABC\) متقايس الأضلاع، ثم عيّن نقطة \(D\) من نصف المستقيم \([AB]\) بحيث \(AD > AB\) (أي \(D\) خارج المثلث على امتداد \([AB]\)).

1) أ- ابنِ \(I\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABC\).

ب- فسّر لماذا \((AI)\) هو الموسط العمودي للضلع \([BC]\).

2) ابنِ \(J\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(BDC\).

3) استنتج أن النقاط \(A\)، \(I\) و\(J\) على استقامة واحدة.

المرحلة 1 المرحلة 2 المرحلة 3

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• المثلث \(ABC\) متقايس الأضلاع: \(AB=BC=CA\) وجميع الزوايا \(=60°\).

• في مثلث متقايس الأضلاع: منصفات الزوايا = ارتفاعات = موسطات = مواسط عمودية (كلها متطابقة).

• مركز الدائرة المحاطة = مركز الدائرة المحيطة = نفس النقطة في المثلث المتقايس الأضلاع.

• \(D\) على امتداد \([AB]\) خارج المثلث: المثلث \(BDC\) يشترك مع \(ABC\) في القاعدة \([BC]\).

• الفكرة الرئيسية: كلا مركزَي الدائرتين المحاطتين (\(I\) و\(J\)) يقعان على الموسط العمودي لـ\([BC]\).

📝 الطريقة

الفكرة الأولى (1-ب):

في \(ABC\) المتقايس الأضلاع، المستقيم \((AI)\) هو منصف الزاوية عند \(A\). وفي هذا المثلث الخاص، المنصف = الارتفاع = الموسط = الموسط العمودي. إذن \((AI) \perp [BC]\) ويمر من منتصف \([BC]\) → هو الموسط العمودي لـ\([BC]\).

الفكرة الثانية (3):

مركز الدائرة المحاطة بأي مثلث يقع على منصف كل زاوية من زواياه. المثلث \(BDC\) متماثل بالنسبة للموسط العمودي لـ\([BC]\) (لأن \(BD=BC\) في بعض الحالات، أو باستعمال التماثل). إذن \(J\) يقع على الموسط العمودي لـ\([BC]\)، أي على نفس المستقيم \((AI)\) الذي يمر أيضاً بـ\(A\).

✅ الحل الكامل

1-أ) بناء \(I\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(ABC\):

نرسم منصفَي زاويتين (مثلاً عند \(A\) وعند \(B\)). نقطة تقاطعهما هي \(I\)، مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABC\). ✓

1-ب) \((AI)\) موسط عمودي لـ\([BC]\):

في المثلث المتقايس الأضلاع \(ABC\)، كل خط يصل رأساً بمنتصف الضلع المقابل هو في آنٍ واحد: منصف زاوية + ارتفاع + موسط + موسط عمودي. \((AI)\) هو منصف الزاوية عند \(A\) ← هو أيضاً عمودي على \((BC)\) ويمر من منتصف \([BC]\). إذن \((AI)\) هو الموسط العمودي للضلع \([BC]\). ✓

2) بناء \(J\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(BDC\):

نرسم منصفَي زاويتين في المثلث \(BDC\) (مثلاً عند \(B\) وعند \(C\)). نقطة تقاطعهما هي \(J\). ✓

3) استنتاج أن \(A\)، \(I\)، \(J\) على استقامة واحدة:

المثلثان \(ABC\) و\(BDC\) يشتركان في القاعدة \([BC]\). مركز الدائرة المحاطة بأي مثلث يقع على الموسط العمودي لكل ضلع. إذن \(I\) يقع على الموسط العمودي لـ\([BC]\)، وكذلك \(J\). ✓ من 1-ب): الموسط العمودي لـ\([BC]\) هو المستقيم \((AI)\) الذي يمر بـ\(A\) وبـ\(I\). بما أن \(J\) يقع على الموسط العمودي لـ\([BC]\)، فهو يقع على المستقيم \((AI)\). إذن \(A\)، \(I\)، \(J\) على استقامة واحدة. ✓