تمرين رقم 13 الزاوية الخارجية ومركز الدائرة المحاطة

مثلث \(ABC\)، الزاوية \(\widehat{CBx}\) مجاورة ومقايسة للزاوية \(\widehat{ABC}\). \((AC)\) و\((Bx)\) يتقاطعان في \(D\). \([Ay)\) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\) يقطع \((BC)\) في \(I\).

1) بيّن أن \(I\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABD\).

2) استنتج أن \(\widehat{ADI} = \widehat{BDI}\).

المرحلة 1 المرحلة 2 المرحلة 3

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• \(\widehat{CBx}\) مجاورة ومقايسة لـ\(\widehat{ABC}\) ← إذن قياسهما متساوٍ.

• \(D\) = تقاطع \((AC)\) مع \((Bx)\) ← \(D\) خارج المثلث على امتداد \((AC)\).

• \([Ay)\) منصف \(\widehat{BAC}\) ← يقسّم \(\widehat{BAC}\) إلى زاويتين متساويتين.

• \(I = [Ay) \cap (BC)\) ← \(I\) على الضلع \([BC]\) وعلى منصف الزاوية عند \(A\).

• الهدف: إثبات أن \(I\) تقع على منصفَي الزاويتين عند \(A\) و\(B\) في المثلث \(ABD\).

📝 الطريقة

فكرة منصف الزاوية عند \(A\):

• \([Ay)\) منصف \(\widehat{BAC}\). بما أن \(D \in (AC)\)، فإن \(\widehat{BAD}\) جزء من \(\widehat{BAC}\).

• \([Ay)\) يقسّم \(\widehat{BAD}\) أيضاً إلى زاويتين متساويتين → هو منصف الزاوية عند \(A\) في المثلث \(ABD\).

فكرة منصف الزاوية عند \(B\):

• \(\widehat{CBx} = \widehat{ABC}\) ← \((Bx)\) يقسّم الزاوية \(\widehat{ABD}\) إلى زاويتين متساويتين:

\(\widehat{ABD} = \widehat{ABC} + \widehat{CBD}\)... لكن \(D \in (Bx)\) ← إذن \([BD)\) هو منصف \(\widehat{ABD}\) في المثلث \(ABD\).

• \(I \in [Ay)\) و\(I \in (BC)\) → \(I\) على منصف الزاوية عند \(A\).

• بالتحليل الهندسي: \(I\) أيضاً على منصف الزاوية عند \(B\) → \(I\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(ABD\).

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن \(I\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABD\):

أ — \(I\) على منصف الزاوية عند \(A\) في \(ABD\):
\([Ay)\) منصف \(\widehat{BAC}\) ← \(\widehat{BAY} = \widehat{YAC}\).
\(D \in (AC)\) ← \(\widehat{BAD}\) هو جزء من \(\widehat{BAC}\).
إذن \([Ay)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{BAD}\) في المثلث \(ABD\).
بما أن \(I \in [Ay)\) → \(I\) على منصف الزاوية عند \(A\). ✓ ب — \(I\) على منصف الزاوية عند \(B\) في \(ABD\):
\(\widehat{CBx} = \widehat{ABC}\) (مجاورة ومقايسة).
\(D = (AC) \cap (Bx)\) ← \([BD)\) جزء من \((Bx)\).
إذن \((Bx)\) يقسّم الزاوية عند \(B\) في المثلث \(ABD\) إلى زاويتين متساويتين ← هو منصفها.
بما أن \(I \in (BC)\) وهو الضلع الحامل لمنصف الزاوية عند \(B\) → \(I\) على هذا المنصف. ✓ الاستنتاج: \(I\) = تقاطع منصفَي الزاويتين عند \(A\) و\(B\) في المثلث \(ABD\) → بخاصية منصفات الزوايا: \(I\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABD\). ✓

2) استنتاج أن \(\widehat{ADI} = \widehat{BDI}\):

بما أن \(I\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABD\)، فإنها تقع على منصفات الزوايا الثلاث. إذن \((DI)\) هو منصف الزاوية عند \(D\) في المثلث \(ABD\). من تعريف منصف الزاوية: \[\widehat{ADI} = \widehat{BDI}\] ✓