تمرين رقم 12 منصف الزاوية والدائرة المحاطة

1) ابنِ مثلثاً \(EFG\) حيث \(EF=5\) cm، \(\widehat{FEG}=30°\)، \(\widehat{EFG}=20°\).

2) ابنِ زاوية \(\widehat{GFx}\) مجاورة ومقايسة للزاوية \(\widehat{EFG}\).

3) ابنِ زاوية \(\widehat{GEy}\) مجاورة ومقايسة للزاوية \(\widehat{FEG}\).

4) المستقيمان \((Fx)\) و\((Ey)\) يتقاطعان في \(H\). فسّر لماذا \(G\) هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(EFH\).

المرحلة 1 المرحلة 2 المرحلة 3

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

السؤال 1:

• استعمل مجموع زوايا المثلث لإيجاد \(\widehat{EGF}\).

• ارسم أولاً القطعة \([EF]\)، ثم الزاويتين عند \(E\) و\(F\) للحصول على \(G\).

السؤالان 2 و 3:

• "مجاورة ومقايسة" = نفس القياس + تشترك في الضلع \([FG]\) أو \([EG]\).

• عند \(F\): نبني \(\widehat{GFx}=20°\) على الجهة الأخرى من \([FG]\).

• عند \(E\): نبني \(\widehat{GEy}=30°\) على الجهة الأخرى من \([EG]\).

السؤال 4:

• مركز الدائرة المحاطة = تقاطع منصفات الزوايا الداخلية.

• نريد إثبات أن \((FG)\) منصف الزاوية عند \(F\) في المثلث \(EFH\)، وأن \((EG)\) منصف الزاوية عند \(E\) فيه.

📝 الطريقة

• مركز الدائرة المحاطة بمثلث = نقطة تقاطع منصفات زواياه الداخلية.

• عندما نبني زاوية مجاورة ومقايسة لـ\(\widehat{EFG}\)، نحصل على:

\(\widehat{EFG} = \widehat{GFH} = 20°\) ← \([FG]\) يقسم \(\widehat{EFH}\) إلى زاويتين متساويتين

← إذن \([FG)\) هو منصف الزاوية عند \(F\) في المثلث \(EFH\).

• بنفس الطريقة عند \(E\):

\(\widehat{FEG} = \widehat{GEH} = 30°\) ← \([EG)\) هو منصف الزاوية عند \(E\) في المثلث \(EFH\).

• \(G\) = تقاطع منصفَي الزاويتين عند \(E\) و\(F\) → \(G\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(EFH\).

✅ الحل الكامل

1) بناء المثلث \(EFG\):

\(\widehat{EGF} = 180° - 30° - 20° = 130°\) نرسم \([EF]=5\) cm، عند \(E\) نرسم شعاعاً يصنع \(30°\) مع \([EF]\)، وعند \(F\) شعاعاً يصنع \(20°\) مع \([FE]\). يتقاطعان في \(G\).

2) بناء \(\widehat{GFx}\):

نرسم من \(F\) شعاعاً \([Fx)\) على الجهة الأخرى من \([FG]\) بحيث \(\widehat{GFx}=\widehat{EFG}=20°\). الزاويتان متجاورتان ومتساويتان.

3) بناء \(\widehat{GEy}\):

نرسم من \(E\) شعاعاً \([Ey)\) على الجهة الأخرى من \([EG]\) بحيث \(\widehat{GEy}=\widehat{FEG}=30°\).

4) تفسير أن \(G\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(EFH\):

المستقيم \((FG)\) يقسّم \(\widehat{EFH}\) إلى: \(\widehat{EFG}=20°\) و\(\widehat{GFH}=20°\) (لأن \(FH\) جزء من \((Fx)\)). إذن \([FG)\) منصف الزاوية عند \(F\) في المثلث \(EFH\). ✓ المستقيم \((EG)\) يقسّم \(\widehat{FEH}\) إلى: \(\widehat{FEG}=30°\) و\(\widehat{GEH}=30°\) (لأن \(EH\) جزء من \((Ey)\)). إذن \([EG)\) منصف الزاوية عند \(E\) في المثلث \(EFH\). ✓ \(G\) = تقاطع منصفَي الزاويتين عند \(E\) و\(F\) → بخاصية منصفات زوايا المثلث: \(G\) هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(EFH\). ✓