التناظر المحوري

📚 السنة السابعة أساسي 📝 تمرين 28
A B C 3 4 5
تمرين 28
تناظر مثلث قائم كامل

📝 الإشكالية

ارسم مثلّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\) و \(AC = 4\) (تحقّق بالقيس أنّ \(BC = 5\)).

  1. ارسم الموسّط العمودي \((\Delta)\) لـ \([BC]\)، ثم النقطة \(A'\) مناظِرة \(A\) بالنسبة إلى \((\Delta)\).
  2. ارسم المثلّث \(A'B'C'\) مناظِر المثلّث \(ABC\) بالنسبة إلى \((\Delta)\)، وبيّن أنّه قائم الزاوية في \(A'\).
  3. احسب محيط ومساحة المثلّث \(A'B'C'\).
  4. (جزئيًا) أثبت تساوي زاويتين متناظرتين.
  5. أ) المستقيمان \((A'B)\) و \((AC)\) يتقاطعان في \(M\). بيّن أنّ \(M\in(\Delta)\). ب) بيّن أنّ \(MA = MA'\).
  6. المستقيم \((AB)\) يقطع \((\Delta)\) في نقطة \(P\). برهن على أنّ النقاط \(C\) و \(A'\) و \(P\) على استقامة واحدة.
  7. (غير واضح تمامًا) بيّن طبيعة الزاوية \(\widehat{BPC}\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

\((\Delta)\) موسّط عمودي لـ \([BC]\) ⇒ يُرسل \(B\mapsto C\) و \(C\mapsto B\) و \(A\mapsto A'\). إذن \(B' = C\) و \(C' = B\). وبالقيس \(BC = 5\) (كما جاء في نصّ التمرين).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

صورة الزاوية القائمة في \(A\) هي الزاوية القائمة في \(A'\). وبحفظ الأطوال: المثلّث \(A'B'C'\) يقايس \(ABC\):

\[P = 3 + 4 + 5 = 12\,\text{cm}, \qquad \mathcal{A} = \tfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6\,\text{cm}^2.\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

\(M\) على \((A'B)\) و \((AC)\)، وبما أنّ كل نقطة من \((\Delta)\) على بُعد واحد من \(A\) و \(A'\) نستنتج \(MA = MA'\). والنقطة \(P\in(\Delta)\)، وصورة \((AB)\) تمرّ بـ \(C\) و \(A'\)، إذن \(C\) و \(A'\) و \(P\) على استقامة واحدة. ✅

→ التمرين السابق 🏠 القائمة التمرين التالي ←