التناظر المحوري — تمرين 19

تمرين 19

مستقيمان متعامدان وتناظر مزدوج

📝 الإشكالية

ارسم مستقيمين \((xy)\) و \((zt)\) متعامدين في نقطة \(O\)، وارسم نقطة \(M\) حيث \(\widehat{MOx} = 50°\).

أ) ارسم النقطة \(N\) مناظِرة \(M\) بالنسبة إلى \((xy)\). (\((MN)\) يقطع \((xy)\) في \(A\)). ب) بيّن أنّ \(\widehat{NOx} = 50°\).
أ) ارسم النقطة \(P\) مناظِرة \(M\) بالنسبة إلى \((zt)\). (\((NP)\) يقطع \((zt)\) في \(B\)). ب) بيّن أنّ \(\widehat{BOP}=40°\).
بيّن أنّ \(\widehat{MOP} = 180°\) واستنتج أنّ \(O\) منتصف \([MP]\).

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

المستقيمان متعامدان في \(O\)، و \(O\) نقطة من كلٍّ منهما (محورَي التناظر) فهي ثابتة. التناظر يحافظ على قيس الزوايا.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

مناظِرة \(M\) بالنسبة إلى \((xy)\) هي \(N\) ⇒ \(\widehat{NOx} = \widehat{MOx} = 50°\).
مناظِرة \(M\) بالنسبة إلى \((zt)\) هي \(P\). وبما أنّ \(\widehat{MOz} = 90° - 50° = 40°\) فإنّ \(\widehat{POz} = 40°\)، أي \(\widehat{BOP} = 40°\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

بجمع الزوايا حول \(O\) نجد \(\widehat{MOP} = 180°\)، فالنقاط \(M,O,P\) على استقامة واحدة. وبما أنّ \(OM = OP\) (حفظ الأطوال) فإنّ \(O\) منتصف \([MP]\). ✅