التناظر المحوري — تمرين 13

تمرين 13

تناظر دائرة ومستقيم قاطع

📝 الإشكالية

ارسم دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\)، ومستقيما \((\Delta)\) بُعدُه عن \(O\) يساوي \(2\).

ما هي الوضعية النسبية لـ \((\Delta)\) و \((\mathcal{C})\)؟ علّل.
المستقيم \((\Delta)\) يقطع \((\mathcal{C})\) في نقطتين \(A\) و \(B\). أ) ارسم النقطة \(I\) مناظِرة \(O\) بالنسبة إلى \((\Delta)\) والدائرة \((\mathcal{C}')\) مناظِرة \((\mathcal{C})\) بالنسبة إلى \((\Delta)\). ب) هل تنتمي كلٌّ من \(A\) و \(B\) إلى \((\mathcal{C}')\)؟ علّل.
المستقيم \((OA)\) يقطع \((\mathcal{C})\) في نقطة ثانية \(E\). أ) لتكن \(F\) مناظِرة \(E\) بالنسبة إلى \((\Delta)\). ب) بيّن أنّ \(F\) تنتمي إلى \((\mathcal{C}')\). ج) أوجد البُعد \(FA\) واستنتج أنّ \(I\) منتصف \([FA]\).

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

أقارن بُعد المركز عن المستقيم \(d = 2\) بالشعاع \(r = 3\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

بما أنّ \(d = 2 < r = 3\) فإنّ المستقيم \((\Delta)\) قاطع للدائرة في نقطتين. مناظِرة \((\mathcal{C})\) بالنسبة إلى \((\Delta)\) هي دائرة \((\mathcal{C}')\) مركزها \(I\) (مناظِرة \(O\)) ولها نفس الشعاع \(3\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

\(A\) و \(B\) على المحور \((\Delta)\) ⇒ ثابتتان، وهما على \((\mathcal{C})\)، إذن على صورتها \((\mathcal{C}')\) أيضًا. وكذلك \(F\) مناظِرة \(E\in(\mathcal{C})\) ⇒ \(F\in(\mathcal{C}')\). وبحفظ الأطوال والاستقامية يكون \(I\) منتصف \([FA]\). ✅