التناظر المحوري — تمرين 3

تمرين 3

مناظر نقطة ومثلث متقايس

📝 الإشكالية

ارسم مثلّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\)، \(AC = 4\) و \(BC = 5\)، و \(D\) نقطة بحيث \(A\) منتصف \([DB]\).

أ) ما هي مناظِرة \(B\) بالنسبة إلى \((AC)\)؟ علّل. ب) بيّن أنّ المثلّث \(BCD\) متقايس الضلعين واحسب مساحته.
ارسم المستقيم \((\Delta)\) بحيث تكون \(C\) مناظِرة \(B\) بالنسبة إلى \((\Delta)\).
ارسم \(E\) و \(F\) مناظِرتَي \(B\) و \(D\) على التوالي بالنسبة إلى \((\Delta)\). أ) بيّن أنّ \(C\) و \(E\) و \(F\) على استقامة واحدة. ب) احسب \(CE\) و \(CF\) واستنتج أنّ \(C\) منتصف \([EF]\).

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

بما أنّ الزاوية قائمة في \(A\) فإنّ \((AC)\perp(AB)\)، و \(A\) منتصف \([DB]\) ⇒ \((AC)\) هو الموسّط العمودي لـ \([BD]\)، ومنه \(D\) هي مناظِرة \(B\) بالنسبة إلى \((AC)\). ومن المعطيات \(BC = 5\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

\(C\) تنتمي إلى المحور \((AC)\) ⇒ \(CD = CB = 5\) (حفظ الأطوال)، فالمثلّث \(BCD\) متقايس الضلعين (\(CB=CD\)). قاعدته \(BD = 2\,AB = 6\) وارتفاعه من \(C\) هو \(CA = 4\):

\[\mathcal{A}(BCD) = \tfrac{1}{2}\times BD \times CA = \tfrac{1}{2}\times 6 \times 4 = 12\,\text{cm}^2.\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

\((\Delta)\) هو الموسّط العمودي لـ \([BC]\) (لأنّ \(C\) مناظِرة \(B\) بالنسبة إليه). بالتناظر بالنسبة إلى \((\Delta)\) تنحفظ الأطوال، فتكون \(CE\) و \(CF\) صورتَي قطعتين من نفس الطول، ومنه \(CE = CF\) مع وقوع \(E,C,F\) على استقامة واحدة، فـ \(C\) منتصف \([EF]\). ✅