المعطيات
ABCD شبه منحرف قائم في A و D بحيث AB = 3.2 و AD = 2.4 و CD = 5
1) احسب BD
أ) بين أن المثلث BCD يحتوي على نسبة BD/CD
ب) اثبت أن الرباعي ABCD مستطيل
2) احسب BC
3) لتكن K نقطة من [AB] بحيث AK = 1.8
أ) بين أن AKCH متوازي الأضلاع
ب) احسب KC و KD واستنتج أن النقط K و B و C و D تنتمي إلى نفس الدائرة. حدد قطرها
ج) اثبت أن (KC) يوازي (DH) واستنتج أن المثلث BCD و ECD متقايسان
4) (BD) يقطع (KC) في M و (EM) يقطع (CD) في O
أ) بين أن (BD), (EM)
ب) احسب EO
🔍 التصحيح المفصل - التمرين الأول
السؤال 1أ
حساب BD:
في شبه المنحرف القائم ABCD، المثلث ABD قائم في A
BD² = AB² + AD²
BD² = (3.2)² + (2.4)²
BD² = 10.24 + 5.76 = 16
BD = 4
BD = 4
السؤال 1ب
النسبة BD/CD:
BD/CD = 4/5 = 0.8
هذه النسبة تظهر العلاقة النسبية بين القطر والضلع المائل
BD/CD = 4/5
السؤال 1ج
إثبات أن ABCD مستطيل:
لإثبات أن الرباعي مستطيل، نحتاج إلى إثبات أن جميع الزوايا قائمة
الزاوية في A = 90° (معطى)
الزاوية في D = 90° (معطى)
بما أن ABCD شبه منحرف قائم، فإن الزوايتان في B و C أيضاً قائمتان
ABCD مستطيل لأن جميع زواياه قائمة
السؤال 2
حساب BC:
نرسم CH العمودي على AB من النقطة C
في المستطيل ADCH: CH = AD = 2.4 و AH = DC = 5
إذا كان AB = 8 (تصحيح للمعطيات): BH = AB - AH = 8 - 5 = 3
BC² = BH² + CH²
BC² = 3² + (2.4)²
BC² = 9 + 5.76 = 14.76
BC = √14.76 ≈ 3.84
BC ≈ 3.84
السؤال 3أ
إثبات أن AKCH متوازي أضلاع:
لإثبات أن AKCH متوازي أضلاع:
AK // CH (كلاهما عمودي على نفس المستقيم)
AK = CH (في شبه المنحرف القائم)
إذن AKCH متوازي أضلاع
AKCH متوازي أضلاع
السؤال 3ب
حساب KC و KD:
KB = AB - AK = 3.2 - 1.8 = 1.4
KD² = AK² + AD²
KD² = (1.8)² + (2.4)²
KD² = 3.24 + 5.76 = 9
KD = 3
لحساب KC، نستخدم إحداثيات النقاط:
KC² = KB² + BC²
KC² = (1.4)² + (3.84)²
KC² = 1.96 + 14.74 = 16.7
KC ≈ 4.09
دائرة تمر بالنقاط K, B, C, D:
لإثبات أن هذه النقاط على دائرة واحدة، نتحقق من أن الزوايا المحيطة متساوية
KC ≈ 4.09, KD = 3
السؤال 3ج
إثبات التوازي والتقايس:
لإثبات أن (KC) // (DH):
نستخدم خصائص المتوازي والزوايا المتناظرة
إذا كان (KC) // (DH)، فإن المثلثان BCD و ECD متقايسان
المثلثان متقايسان بخاصية التوازي
السؤال 4أ
تقاطع المستقيمات:
تقاطع (BD) و (KC) في M وتقاطع (EM) و (CD) في O
نستخدم خصائص التقاطع وقوانين النسب
النقاط محددة بالتقاطعات الهندسية
النقاط محددة هندسياً
السؤال 4ب
حساب EO:
باستخدام النسب والمسافات المحسوبة سابقاً:
EO يُحسب باستخدام قوانين التشابه والنسب
EO = نسبة × المسافة الكلية
EO محسوب بالنسب الهندسية