سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

source: Exe_PythSerie3.html | bloc: 4 | extraction: exercise-card

هندسة شاملة مسألة 2
هندسة شاملة
مسألة 2

ABCD مستطيل حيث \(AB=8\) و \(AD=6\). I منتصف [BC]. المستقيم (AI) يقطع (CD) في J.

  1. برهن أن المثلث ADJ قائم الزاوية.
  2. احسب AJ و DJ.
  3. برهن أن D, B, J على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. مثلث قائم: الزاوية في D للمستطيل هي زاوية قائمة.

2. لحساب AJ و DJ: استخدم نظرية طاليس في المثلث ADJ مع المستقيم (IC) الموازي لـ (AD). أو استخدم بيتاغور.

3. الاستقامة: لإثبات أن ثلاث نقاط على استقامة واحدة، أثبت أن الزاوية بينها 180 درجة، أو أثبت أن أحد الأقطار في متوازي أضلاع يمر بها.

📝 الطريقة

1. المثلث ADJ: الزاوية \(\angle ADJ\) هي \(\angle ADC\) وهي 90 درجة لأن ABCD مستطيل.

2. حساب الأطوال:

  • اعتبر المثلث AJB. I منتصف [BC] و \((BC) // (AD)\). بتطبيق طاليس، نجد أن C منتصف [BJ]. إذن \(CJ=BC=6\).
  • \(DJ = DC + CJ = 8 + 6 = 14\).
  • في المثلث ADJ القائم في D: \(AJ^2 = AD^2 + DJ^2\).

3. الاستقامة: أثبت أن ميل (DB) يساوي ميل (DJ). أو أثبت أن المثلث DBJ مسطح (زاويته 180 درجة).

✅ الحل الكامل

1. برهان أن ADJ قائم:

بما أن ABCD مستطيل، فإن \((AD) \perp (DC)\). وبما أن J تقع على المستقيم (DC)، فإن \((AD) \perp (DJ)\). إذن المثلث ADJ قائم الزاوية في D.

2. حساب AJ و DJ:

نعتبر المثلث JAB. لدينا C على [JB] و I على [IA]. بما أن \((IC) // (AB)\) (لأن كلاهما عمودي على BC)، نطبق طاليس: \(\frac{JI}{JA} = \frac{JC}{JB} = \frac{IC}{AB}\). ولدينا أيضاً المثلثان JCI و JAB متشابهان. بما أن I منتصف [BC] و \((AD) // (BC)\)، فإن C هي منتصف [BJ]. إذن \(CJ = BC = AD = 6\). وبالتالي \(DJ = DC + CJ = 8 + 6 = 14\).

في المثلث ADJ القائم في D، حسب بيتاغور:

\[AJ^2 = AD^2 + DJ^2 = 6^2 + 14^2 = 36 + 196 = 232\]
\[AJ = \sqrt{232} = 2\sqrt{58}\]

3. برهان أن D, B, J على استقامة واحدة:

لنحسب ميل المستقيم (DB) في نظام إحداثيات (D هو المبدأ): D(0,0), C(8,0), B(8,6), A(0,6). J هي نقطة تقاطع (AI) مع المحور x. معادلة (AI) هي \(y-6 = \frac{3-6}{8-0}(x-0) \Rightarrow y = -\frac{3}{8}x + 6\). عندما \(y=0\), \(x=16\). إذن J(16,0). ميل (DB) هو \(\frac{6-0}{8-0} = \frac{3}{4}\). ميل (DJ) هو \(\frac{0-0}{16-0}=0\). النقاط ليست على استقامة. السؤال الأصلي يحتوي على خطأ. تصحيح منطقي للسؤال: إذا كان I منتصف [CD]، فإن D, I, B على استقامة واحدة.