المثلث متساوي الأضلاع تمرين 4

المثلث متساوي الأضلاع

تمرين 4

ABC مثلث متساوي الأضلاع بحيث \( AB=6 \). [AH] ارتفاعه. D نقطة من [AC] بحيث \( CD=2 \). E المسقط العمودي لـ D على (BC) و F المسقط العمودي لـ D على (AH).

احسب AH ثم EC و ED.
بين أن F هي النقطة من [AH] التي تحقق \(\frac{AF}{AH} = \frac{2}{3}\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. لحساب AH: في المثلث متساوي الأضلاع، الارتفاع هو أيضاً متوسط. استخدم بيتاغور في المثلث القائم AHC.

لحساب EC و ED: استخدم نظرية طاليس في المثلث AHC مع المستقيم الموازي (DE).

📝 الطريقة

1. حساب AH: H منتصف [BC]، إذن \(HC=3\). في المثلث AHC القائم في H، \(AC^2 = AH^2 + HC^2\).

2. حساب EC و ED: في المثلث AHC، \((DE) // (AH)\) لأنهما عموديان على (BC). طبق طاليس: \(\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CH} = \frac{DE}{AH}\).

3. موقع F: الرباعي HEDF مستطيل. استنتج أن \(HF = DE\). احسب \(AF = AH - HF\) ثم احسب النسبة \(\frac{AF}{AH}\).

✅ الحل الكامل

1. حساب AH, EC, ED:

H منتصف [BC] \(\Rightarrow HC=3\). في المثلث AHC القائم في H:

\[AH^2 = AC^2 - HC^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 \Rightarrow AH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

في المثلث AHC، لدينا \((DE) // (AH)\). حسب طاليس:

\[\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CH} = \frac{DE}{AH}\]

\[\frac{2}{6} = \frac{CE}{3} = \frac{DE}{3\sqrt{3}}\]

منه: \(CE = \frac{2 \times 3}{6} = 1\) و \(DE = \frac{2 \times 3\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\).

2. موقع F:

الرباعي HEDF له ثلاث زوايا قائمة (في H, E, F)، إذن هو مستطيل. وبالتالي \(HF = DE = \sqrt{3}\). لدينا \(AH = 3\sqrt{3}\). إذن \(AF = AH - HF = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\). النسبة المطلوبة هي:

\[\frac{AF}{AH} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\]

وهو المطلوب إثباته. (ملاحظة: هذه هي خاصية مركز الثقل على الموسط، لكن F ليست مركز الثقل).

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل