سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

source: Exe_ExercicesPyt13.html | bloc: 1 | extraction: exercise-card

بناء وهندسة تحليلية تمرين 3
بناء وهندسة تحليلية
تمرين 3
  1. ارسم مثلث ABE قائم ومتساوي الساقين في E بحيث \( AE=EB=3 \) cm. احسب AB.
  2. ارسم الدائرة (C) التي قطرها [EB]. تقطع [AB] في K. احسب EK.
  3. أكمل خارج المثلث المستطيل ABCD بحيث \( BC=3 \). احسب AC.
  4. لتكن I منتصف [CD]. المستقيم المار من I والموازي للمستقيم (AC) يقطع (AB) في F. بين أن AFIC متوازي أضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

2. لحساب EK: تذكر أن [EK] هو ارتفاع في مثلث قائم. استخدم علاقة المساحة: مساحة المثلث يمكن حسابها بطريقتين.

4. متوازي أضلاع: أثبت أن ضلعين متقابلين متوازيان ومتقايسان.

📝 الطريقة

1. حساب AB: طبق بيتاغور في المثلث القائم والمتساوي الساقين ABE.

2. حساب EK: المثلث EKB قائم في K لأن [EB] قطر. [EK] هو الارتفاع المتعلق بالوتر في المثلث ABE. استخدم علاقة المساحة: \(\frac{AE \times EB}{2} = \frac{EK \times AB}{2}\).

3. حساب AC: طبق بيتاغور في المثلث القائم ABC.

4. متوازي أضلاع: لديك \((IF) // (AC)\) (معطى). أثبت أن \(AF = IC\) باستخدام نظرية طاليس لإثبات أن F منتصف [AB].

✅ الحل الكامل

1. حساب AB: في المثلث ABE القائم في E: \(AB^2 = AE^2 + EB^2 = 3^2 + 3^2 = 18\). إذن \(AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) cm.

2. حساب EK: مساحة المثلث ABE = \(\frac{3 \times 3}{2} = 4.5\). وأيضاً المساحة = \(\frac{EK \times AB}{2}\). إذن \(4.5 = \frac{EK \times 3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow EK = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\) cm.

3. حساب AC: في المستطيل ABCD، \(CD = AB = 3\sqrt{2}\). المثلث ABC قائم في B. \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 3^2 = 18 + 9 = 27\). إذن \(AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) cm.

4. إثبات أن AFIC متوازي أضلاع: لدينا \((IF) // (AC)\). في المثلث BCD، المستقيم المار من I منتصف [CD] ويوازي (BD) يقطع [BC] في منتصفه. لتطبيق طاليس، نمد (DI) ليقطع (BC) في G. في المثلث ADG، C منتصف [DG] وI منتصف [DI]. هذا معقد. طريقة أبسط: في المثلث ABC، المستقيم المار من I ويوازي (AC) يقطع [AD] و [AB] في منتصفيهما G و F. لكن I ليست في المثلث. الطريقة الصحيحة: نطبق طاليس في المثلث ABD مع المستقيم (FI) القاطع له. نجد أن F منتصف [AB]. إذن \(AF = \frac{AB}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\). ولدينا \(IC = \frac{CD}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\). إذن \(AF=IC\). بما أن \((AF) // (IC)\) و \(AF=IC\)، فإن AFIC متوازي أضلاع.