التمرين 12: طاليس والنسب المتعددة

في المثلث \(ABC\)، المستقيم \(\Delta\) الموازي لـ\((AB)\) المار من منتصف \([AC]\) يقطع \([BC]\) في \(I\).
(1) بيّن أن \(I\) منتصف \([BC]\).
(2) إذا كان \(AB=8\)، احسب \(OI\) حيث \(O\) منتصف \([AC]\).
(3) استنتج علاقة تربط مساحة المثلث \(COI\) بمساحة \(CAB\).

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

س1: \(O\) منتصف \([AC]\) و\(\Delta \parallel AB\) → هذا هو وضع مبرهنة الموسط.
س2: \([OI]\) واسط المثلث \(CAB\) → \(OI=\dfrac{AB}{2}\).
س3: المثلثان \(COI\) و\(CAB\) متشابهان بنسبة \(\dfrac{1}{2}\) → نسبة المساحات = \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\).

📝 الطريقة

الخطوة 1: \(O\) منتصف \([AC]\)، \((OI)//(AB)\) → بطاليس: \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{CI}{CB}=\dfrac{1}{2}\) → \(I\) منتصف \([BC]\).

الخطوة 2: \([OI]\) واسط المثلث \(ABC\) → \(OI=\dfrac{AB}{2}=4\).

الخطوة 3: \(\dfrac{\mathcal{A}(COI)}{\mathcal{A}(CAB)}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\).

✅ الحل الكامل

(1) \(O\) منتصف \([AC]\) و\((OI)//(AB)\). بمبرهنة طاليس في المثلث \(CAB\): \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{CI}{CB}=\dfrac{1}{2}\). إذن \(I\) منتصف \([BC]\). ✓

(2) \([OI]\) يربط منتصفَي ضلعين في المثلث \(CAB\) → \(OI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}=4\).

(3) المثلثان \(COI\) و\(CAB\) متشابهان بنسبة \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{1}{2}\). إذن \(\dfrac{\mathcal{A}(COI)}{\mathcal{A}(CAB)}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\).