\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\)، \(AB=6\)، \(AD=4\).
\(M\) و\(N\) المسقطان العموديان لـ\(D\) و\(B\) على \((AC)\).
(1) بيّن أن المثلثين \(BCN\) و\(ADM\) متقايسان.
(2) استنتج أن الرباعي \(BMDN\) متوازي أضلاع.
💡 تلميح
- كلا المثلثين قائمان في \(N\) و\(M\) على التوالي.
- في متوازي الأضلاع: \(BC = AD\) والزوايا المتبادلة داخلياً متساوية.
- للتقايس: ابحث عن حالة (ض-ز-ض) أو (ز-ض-ز).
- للاستنتاج: ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان → متوازي أضلاع.
📝 الطريقة
الخطوة 1: المثلثان \(BCN\) و\(ADM\) قائمان في \(N\) و\(M\).
الخطوة 2: \(BC = AD\) (ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع).
الخطوة 3: \(\widehat{BCN} = \widehat{DAM}\) (زاويتان متبادلتان داخلياً لـ\((BC)//(AD)\)).
الخطوة 4: تقايس بحالة (ز-ض-ز): \(BCN \equiv ADM\) → \(BN = DM\).
الخطوة 5: \((BN)//(DM)\) (كلاهما ⊥ \((AC)\)) و\(BN=DM\) → \(BMDN\) متوازي أضلاع.
✅ الحل الكامل
(1) في المثلثين القائمين \(BCN\) و\(ADM\): الزاوية \(\widehat{BNC}=\widehat{DMA}=90°\)، \(BC=AD\) (ضلعا متوازي الأضلاع المتقابلان)، \(\widehat{BCN}=\widehat{DAM}\) (زاويتان متبادلتان داخلياً). إذن \(BCN \equiv ADM\) بحالة (ز-ض-ز). ✓
(2) من التقايس: \(BN = DM\). كذلك \((BN)//(DM)\) (كلاهما عمودي على \((AC)\)). رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان هو متوازي أضلاع → \(BMDN\) متوازي أضلاع. ✓