التمرين 3: المعين القائم وفيتاغورس

في معين متعامد \((O,I,J)\) حيث \(OI=OJ=1\).
(1) عيّن \(A(3,4)\)، \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\((OJ)\)، \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ\(O\).
(2) حدد إحداثيات \(B\) و\(C\).
(3) احسب \(AB\)، \(AC\) و\(BC\).
(4) بيّن أن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

التناظر بالنسبة لـ\((OJ)\) (المحور الصادي): يُغيّر إشارة الإحداثي الأول فقط.
التناظر بالنسبة لـ\(O\): يُغيّر إشارة الإحداثيين معاً.
س4: إذا \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) فالمثلث قائم في \(A\) بمبرهنة فيتاغورس العكسية.

📝 الطريقة

\(B\): تناظر \(A(3,4)\) بالنسبة لمحور \((OJ)\) (المحور الصادي) → \(B(-3, 4)\).

\(C\): تناظر \(B(-3,4)\) بالنسبة لـ\(O\) → \(C(3, -4)\).

المسافات: \(AB = \sqrt{(-3-3)^2+(4-4)^2} = 6\)، \(AC = 8\)، \(BC = 10\).

فيتاغورس: \(AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100 = BC^2\) → قائم في \(A\).

✅ الحل الكامل

(2) \(B(-3, 4)\) (تناظر \(A\) بالنسبة للمحور الصادي: نعكس الإحداثي الأول). \(C(3, -4)\) (تناظر \(B\) بالنسبة لـ\(O\): نعكس كلا الإحداثيين).

(3) \(AB = \sqrt{36+0} = 6\)، \(AC = \sqrt{0+64} = 8\)، \(BC = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\).

(4) \(AB^2 + AC^2 = 36+64 = 100 = BC^2\). بمبرهنة فيتاغورس العكسية، المثلث \(ABC\) قائم في \(A\). ✓