\[A = (x+1)^2+(x-1)^2\]
°1 أ- أنشر واختصر \(A\) ؛ ب- استنتج \(1001^2+999^2\) دون حساب
°2 أحسب \(A\) بطريقتين إذا \(x = 1-\sqrt{2}\)
°3 فكّك \(B = A+2(x^2-1)\)
°1-أ) \(A = x^2+2x+1+x^2-2x+1 = 2x^2+2\)
°1-ب) \(x=1000\) → \(A = 2(1000)^2+2 = 2\,000\,002\)
°2) الطريقة 1 : \(A = 2(1-\sqrt{2})^2+2 = 2(3-2\sqrt{2})+2 = 8-4\sqrt{2}\)
الطريقة 2 : \((1-\sqrt{2}+1)^2+(1-\sqrt{2}-1)^2 = (2-\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2 = 4-4\sqrt{2}+2+2 = 8-4\sqrt{2}\)
°3) \(B = 2x^2+2+2x^2-2 = 4x^2 = (2x)^2\)... لكن التفكيك :
\(B = 4x^2 = (2x)^2\) ← هذا مربع كامل لا يُفكّك أكثر إلا إذا أردنا \(B = (2x-0)^2\).
الأصح : \(B = 4x^2 = 4x^2\) ← فرق مربعين غير ممكن. أو ربما الفكرة : \(B = A+2(x^2-1) = 2x^2+2+2x^2-2 = 4x^2\). إذًا \(B = (2x)^2\) وهو مربع كامل بذاته.
\[A = (x^2+2x+1)+(x^2-2x+1) = \boxed{2x^2+2}\]
°1-ب) استنتاج \(1001^2+999^2\) :\(x+1 = 1001\) و \(x-1 = 999\) → \(x = 1000\)
\[1001^2+999^2 = A = 2(1000)^2+2 = 2\,000\,000+2 = \boxed{2\,000\,002}\]
°2) بطريقتين (\(x = 1-\sqrt{2}\)) : الطريقة 1 (بالصيغة المختصرة) :\[A = 2x^2+2 = 2(1-\sqrt{2})^2+2 = 2(1-2\sqrt{2}+2)+2 = 2(3-2\sqrt{2})+2 = 6-4\sqrt{2}+2 = \boxed{8-4\sqrt{2}}\]
الطريقة 2 (مباشرة) :\[x+1 = 2-\sqrt{2} \quad;\quad x-1 = -\sqrt{2}\]
\[A = (2-\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2 = (4-4\sqrt{2}+2)+2 = 8-4\sqrt{2} \checkmark\]
°3) تفكيك \(B\) :\[B = A+2(x^2-1) = (2x^2+2)+2x^2-2 = 4x^2\]
\[\boxed{B = (2x)^2 = 4x^2}\]
ملاحظة : \(B = 4x^2\) مربع كامل. إذا المطلوب تفكيكه كفرق مربعين فلا يمكن. لكن يمكن كتابته :
\[B = 4x^2 = (2x-0)(2x+0)\] أو ببساطة \(\boxed{B = (2x)^2}\)