\[A = x^2+4x-21\]
1- أحسب \(A\) إذا \(x = \sqrt{2}+3\)
2- بيّن أن \(A = (x+2)^2-25\)
3- استنتج تفكيكاً لـ \(A\)
4- \(EFGH\) مربع بضلع \(EF=\sqrt{21}\)، \(ABCD\) مربع بضلع \(AB=x\)، \(0<x<\sqrt{21}\)، \(S_1\) المساحة المشطوبة. اكتب \(S_1\) بدلالة \(x\).
5- أوجد \(x\) لتكون \(S_1\) = محيط المربع \(ABCD\)
1) \(x+2 = \sqrt{2}+5\) → \(A = (\sqrt{2}+5)^2-25 = 2+10\sqrt{2}+25-25 = 2+10\sqrt{2}\)
3) \(A = (x+2-5)(x+2+5) = (x-3)(x+7)\)
4) \(S_1 = 21-x^2 = (\sqrt{21}-x)(\sqrt{21}+x)\)
أو بدلالة \(A\) : \(S_1 = 21-x^2 = -(x^2-21) = -(x^2+4x-21-4x) = -(A-4x) = -A+4x\)... لكن الأبسط: \(S_1 = 21-x^2\)
5) \(21-x^2 = 4x\) → \(x^2+4x-21=0\) → \(A=0\) → \((x-3)(x+7)=0\) → \(x=3\)
\[x+2 = \sqrt{2}+5 \Rightarrow A = (\sqrt{2}+5)^2-25 = 2+10\sqrt{2}+25-25 = \boxed{2+10\sqrt{2}}\]
2) إثبات \(A = (x+2)^2-25\) :\[(x+2)^2-25 = x^2+4x+4-25 = x^2+4x-21 = A \checkmark\]
3) تفكيك \(A\) :\[A = (x+2)^2-5^2 = \boxed{(x-3)(x+7)}\]
4) كتابة \(S_1\) بدلالة \(x\) :\[S_1 = \text{مساحة } EFGH - \text{مساحة } ABCD = (\sqrt{21})^2-x^2 = 21-x^2\]
لاحظ : \(A = x^2+4x-21\) → \(x^2-21 = A-4x\) → \(21-x^2 = 4x-A\)
\[\boxed{S_1 = 4x-A = 4x-(x^2+4x-21) = 21-x^2}\]
5) حل \(S_1 = 4x\) :\[21-x^2 = 4x \Rightarrow x^2+4x-21 = 0 \Rightarrow A = 0\]
\[(x-3)(x+7) = 0\]
بما أن \(0 < x < \sqrt{21}\) : \(\boxed{x = 3 \text{ cm}}\) (نرفض \(x=-7\))