التمرين رقم 2(من اقتراح السيد السباعي)

→ السابق ☰ ← التالي
التمرين رقم 2(من اقتراح السيد السباعي)الجذاآت المعتبرة

\(1 < x < 6\)، وحدة الطول : cm

  • \(ABCD\) مربع : \(AB=5\)
  • \(MNCP\) مربع : قطره \(NP = x\sqrt{2}-\sqrt{2}\)
  • \(EFG\) مثلث قائم في \(E\) : \(I\) منتصف \([EF]\)، \(J\) منتصف \([FG]\)، \(EF=x+3\)، \(IJ=x+4\)

1- أ- بيّن أن \(NC = x-1\) ؛ ب- بيّن أن \(S = (x+4)(6-x)\)

2- بيّن أن \(EG = 2x+8\)

3- أوجد \(x\) ليكون \(S = S'\) (مساحة المثلث \(EFG\))

💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1-أ) قطر المربع \(MNCP\) : \(NP = c\sqrt{2}\) حيث \(c\) هو الضلع → \(NC = c = \dfrac{NP}{\sqrt{2}}\)
  • 1-ب) \(S = \) مساحة \(ABCD\) − مساحة \(MNCP\) = \(25 - NC^2\)، ثم فكّك
  • 2) \([IJ]\) واسط المثلث \(EFG\) → \(IJ = \dfrac{EG}{2}\)... لكن \(IJ = x+4\) وهي واسط أي \(EG = ?\)
  • 3) \(S' = \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot EG = \dfrac{1}{2}(x+3)(2x+8)\) ← ساوِ بـ \(S\)

📝 الطريقة

1-أ) ضلع \(MNCP\) : \(NC = \dfrac{NP}{\sqrt{2}} = \dfrac{(x-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = x-1\)

1-ب) \(S = 25-(x-1)^2 = 25-x^2+2x-1 = -x^2+2x+24 = -(x^2-2x-24) = -(x-6)(x+4) = (6-x)(x+4)\)

2) \(I\) منتصف \([EF]\) و\(J\) منتصف \([FG]\) → \([IJ]\) واسط المثلث \(EFG\)

→ \(IJ = \dfrac{EG}{2}\) → \(EG = 2 \cdot IJ = 2(x+4) = 2x+8\)

3) \(S' = \dfrac{1}{2}(x+3)(2x+8) = (x+3)(x+4)\)

\(S = S'\) → \((x+4)(6-x) = (x+3)(x+4)\) → \((x+4)(6-x-x-3)=0\) → \((x+4)(3-2x)=0\)

✅ الحل الكامل

1-أ) إثبات \(NC = x-1\) :

قطر المربع \(MNCP\) : \(NP = \text{ضلع} \times \sqrt{2}\)

\[\text{ضلع} = NC = \dfrac{NP}{\sqrt{2}} = \dfrac{x\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(x-1)}{\sqrt{2}} = \boxed{x-1}\]

1-ب) إثبات \(S = (x+4)(6-x)\) :

\(S\) = مساحة \(ABCD\) − مساحة \(MNCP\) = \(AB^2 - NC^2\) = \(25-(x-1)^2\)

\[= 25-(x^2-2x+1) = -x^2+2x+24\]

\[= -(x^2-2x-24) = -(x-6)(x+4) = \boxed{(x+4)(6-x)}\]

2) إثبات \(EG = 2x+8\) :

\(I\) منتصف \([EF]\) و\(J\) منتصف \([FG]\) → \([IJ]\) واسط المثلث \(EFG\) → \(IJ = \dfrac{EG}{2}\)

\[EG = 2 \times IJ = 2(x+4) = \boxed{2x+8}\]

3) حل \(S = S'\) :

المثلث \(EFG\) قائم في \(E\) :

\[S' = \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot EG = \dfrac{1}{2}(x+3)(2x+8) = (x+3)(x+4)\]

\[S = S' \Rightarrow (x+4)(6-x) = (x+3)(x+4)\]

\[(x+4)\big[(6-x)-(x+3)\big] = 0\]

\[(x+4)(3-2x) = 0\]

بما أن \(1 < x < 6\) → \(x+4 > 0\) → \(3-2x = 0\)

\[\boxed{x = \dfrac{3}{2}}\]