I) \(A = x^2+2x-80\)
1- بيّن أن \(A = (x+1)^2-81\)
2- استنتج تفكيكاً للعبارة \(A\)
II) مثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، \(AC = x\)، \(AB = x+2\)، \(x \in \mathbb{R}_+^*\)
1- أوجد \(x\) إذا كانت مساحة المثلث \(= 40 \text{ cm}^2\)
2- \(J\) نقطة من \([AB]\) حيث \(BJ = 2\) cm، \(\Delta\) عمودي على \((AB)\) من \(J\) يقطع \([BC]\) في \(I\)
أ- بيّن أن \(\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{2}{x}\)
ب- أوجد \(x\) ليكون \(I\) منتصف \([BC]\)
I-1) \((x+1)^2-81 = x^2+2x+1-81 = x^2+2x-80 = A\) ✓
I-2) \(A = (x+1+9)(x+1-9) = (x+10)(x-8)\)
II-1) \(\dfrac{1}{2}x(x+2) = 40\) → \(x(x+2) = 80\) → \(x^2+2x-80=0\) → \((x+10)(x-8)=0\) → \(x=8\)
II-2-أ) \(\Delta \perp AB\) و \(AC \perp AB\) → \(\Delta \parallel AC\) → المثلثان \(BJI\) و \(BAC\) متشابهان
→ \(\dfrac{IB}{BC} = \dfrac{BJ}{BA}\) → \(\dfrac{IB}{BC} = \dfrac{2}{x+2}\)
\(\dfrac{IC}{BC} = 1-\dfrac{IB}{BC} = \dfrac{x}{x+2}\)
→ \(\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{2}{x}\)
\[(x+1)^2-81 = x^2+2x+1-81 = x^2+2x-80 = A \checkmark\]
I-2) تفكيك \(A\) :\[A = (x+1)^2-9^2 = \big[(x+1)+9\big]\big[(x+1)-9\big] = \boxed{(x+10)(x-8)}\]
II-1) حل المعادلة :\[\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AB = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot (x+2) = 40\]
\[x(x+2) = 80\]
\[x^2+2x-80 = 0\]
وهذه هي المعادلة \(A = 0\) بالضبط، أي \((x+10)(x-8) = 0\)
بما أن \(x \in \mathbb{R}_+^*\) : \(\boxed{x = 8 \text{ cm}}\)
II-2-أ) إثبات \(\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{2}{x}\) :\(\Delta\) عمودي على \((AB)\) في \(J\)، و\(AC\) عمودي على \(AB\) في \(A\).
→ \(\Delta \parallel (AC)\)
المثلث \(BJI\) و\(BAC\) متشابهان (زاوية مشتركة في \(B\)، ضلعان متناسبان) :
\[\dfrac{BJ}{BA} = \dfrac{BI}{BC} = \dfrac{2}{x+2}\]
→ \(BI = \dfrac{2 \cdot BC}{x+2}\)
→ \(IC = BC - BI = BC\left(1-\dfrac{2}{x+2}\right) = BC \cdot \dfrac{x}{x+2}\)
\[\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{\dfrac{2 \cdot BC}{x+2}}{\dfrac{x \cdot BC}{x+2}} = \boxed{\dfrac{2}{x}} \checkmark\]
II-2-ب) حل \(I\) منتصف \([BC]\) :\[I \text{ منتصف } [BC] \Leftrightarrow IB = IC \Leftrightarrow \dfrac{IB}{IC} = 1\]
\[\dfrac{2}{x} = 1 \Rightarrow \boxed{x = 2 \text{ cm}}\]