التمرين رقم 11(5 نقاط)

→ السابق ☰ ← التالي
التمرين رقم 11(5 نقاط)الجذاآت المعتبرة

I) \(A = \dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{15}{2}x + 9\)

أ- احسب \(A\) إذا علمت أن \(x = 3\)

ب- بيّن بالنشر أن \(A = (3-x)^2 - \dfrac{1}{2}x(3-x)\)

ج- استنتج تفكيكاً إلى جذاء عوامل للعبارة \(A\)

II) \(ABCD\) مربع، \(EAD\) مثلث قائم في \(A\)، \(EA = x\)، \(EB = 3\)، \(0 < x < 3\)

أوجد \(x\) ليكون قيس مساحة المربع = قيس مساحة المثلث \(EAD\)

💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • ب) انشر \((3-x)^2 - \dfrac{1}{2}x(3-x)\) وتحقق من المساواة لـ \(A\)
  • ج) في التفكيك انشر بالعامل المشترك \((3-x)\)
  • II) في المثلث \(EAB\) : \(EA = x\)، \(EB = 3\)، والزاوية في \(A\) قائمة — استعمل فيثاغورس لإيجاد \(AB\)، ثم ساوِ المساحتين

📝 الطريقة

أ) \(A = \dfrac{3}{2}(9)-\dfrac{15}{2}(3)+9 = \dfrac{27}{2}-\dfrac{45}{2}+9 = -9+9 = 0\)

ب) \((3-x)^2-\dfrac{1}{2}x(3-x) = 9-6x+x^2-\dfrac{3x}{2}+\dfrac{x^2}{2} = \dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{15}{2}x+9 = A\) ✓

ج) \(A = (3-x)\left[(3-x)-\dfrac{x}{2}\right] = (3-x)\left(3-\dfrac{3x}{2}\right) = (3-x)\dfrac{3}{2}(2-x)\)

II) \(AB^2 = EB^2-EA^2 = 9-x^2\) (فيثاغورس في \(EAB\))

مساحة المربع \(= AB^2 = 9-x^2\)

\(AD = AB\)، مساحة \(EAD = \dfrac{1}{2} \cdot EA \cdot AD = \dfrac{x}{2}\sqrt{9-x^2}\)

نساوي ونحل

✅ الحل الكامل

I-أ) حساب \(A\) عند \(x = 3\) :

\[A = \dfrac{3}{2}(9)-\dfrac{15}{2}(3)+9 = \dfrac{27}{2}-\dfrac{45}{2}+9 = \dfrac{27-45}{2}+9 = -9+9 = \boxed{0}\]

I-ب) إثبات \(A = (3-x)^2-\dfrac{1}{2}x(3-x)\) :

\[(3-x)^2-\dfrac{1}{2}x(3-x) = 9-6x+x^2-\dfrac{3x}{2}+\dfrac{x^2}{2}\]

\[= x^2+\dfrac{x^2}{2}-6x-\dfrac{3x}{2}+9 = \dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{15}{2}x+9 = A \checkmark\]

I-ج) تفكيك \(A\) :

\[A = (3-x)\left[(3-x)-\dfrac{x}{2}\right] = (3-x)\left(3-x-\dfrac{x}{2}\right) = (3-x)\left(3-\dfrac{3x}{2}\right)\]

\[= (3-x) \cdot \dfrac{3}{2}(2-x)\]

\[\boxed{A = \dfrac{3}{2}(3-x)(2-x)}\]

II) المسألة الهندسية :

المثلث \(EAB\) قائم في \(A\) : \(EA = x\)، \(EB = 3\)

بمبرهنة فيثاغورس :

\[AB^2 = EB^2-EA^2 = 9-x^2\]

\(ABCD\) مربع → مساحته = \(AB^2 = 9-x^2\)

في المثلث \(EAD\) : قائم في \(A\)، \(EA = x\)، \(AD = AB = \sqrt{9-x^2}\)

\[\mathcal{A}_{EAD} = \dfrac{1}{2} \cdot EA \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{9-x^2}\]

نساوي مساحة المربع بمساحة المثلث :

\[9-x^2 = \dfrac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}\]

\[\sqrt{9-x^2}\left(\sqrt{9-x^2}-\dfrac{x}{2}\right) = 0\]

بما أن \(0 < x < 3\) → \(\sqrt{9-x^2} > 0\) → نقسم :

\[\sqrt{9-x^2} = \dfrac{x}{2}\]

\[9-x^2 = \dfrac{x^2}{4}\]

\[36-4x^2 = x^2\]

\[5x^2 = 36\]

\[x^2 = \dfrac{36}{5}\]

\[\boxed{x = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5}}\]