الجذاآت المعتبرة — التمرين 15

📘 السنة 9 أساسي 🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة 👨‍🏫 الأستاذ فوزي الغربي
التمرين 15  (5 نقاط) تفكيك عبارة وتطبيق هندسي على المساحات

🧮 نص التمرين

نعتبر العبارة : \(A = 4x^2+12x-7\)

① أحسب \(A\) إذا علمت أنّ \(x = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
② أ- بيّن أنّ \(A = (2x+3)^2-16\)
ب- استنتج أنّ \(A = (2x+7)(2x-1)\)
③ \(ABCD\) مستطيل، \(\{E\} = (AB) \cap (DG)\)، \(EB = x+1\)، \(BC = AE\)، \(DC = 2x+3\)، \(x > 0\)
أ- بيّن أنّ \(BG = x+1\)
ب- جد \(x\) إذا علمت أنّ مساحة المثلث \(DCG = 8 \text{ cm}^2\)
اكتشف الحل على ثلاث مراحل : تلميح ← خطوات ← تصحيح مفصّل

💡 تلميح — أفكار للانطلاق

  • ① بدل التعويض المباشر، احسب أوّلا \(2x+3\) ثمّ عوّض في الشكل \((2x+3)^2-16\) : أسهل بكثير.
  • ②-أ) انشر \((2x+3)^2-16\) مستعملا \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) وتحقّق أنّه يساوي \(A\).
  • ②-ب) اكتب \(16=4^2\) ثمّ طبّق فرق مربّعين \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
  • ③-أ) \(ABCD\) مستطيل \(\Rightarrow BC = AD\). استعمل تشابه المثلثين \(AED\) و \(BEG\) (زوايا متبادلة) لإيجاد \(BG\).
  • ③-ب) عبّر عن مساحة \(DCG\) بدلالة \(x\)، ساوِها بـ \(8\)، فتظهر لك \((2x+3)^2=16\) أي \(A=0\) : استعمل تفكيك السؤال ②.
✏️ ملاحظة : يُنصح برسم شكل واضح للمستطيل \(ABCD\) مع النقطتين \(E\) و \(G\) قبل الشروع في الجزء ③.

🔢 خطوات الحل — باختصار

① \(2x+3 = (\sqrt{3}-1)+3 = \sqrt{3}+2\)، ومنه
\(A = (\sqrt{3}+2)^2-16 = 3+4\sqrt{3}+4-16 = -9+4\sqrt{3}\)

②-أ) \((2x+3)^2-16 = 4x^2+12x+9-16 = 4x^2+12x-7 = A\)

②-ب) \(A = (2x+3)^2-4^2 = (2x+3+4)(2x+3-4) = (2x+7)(2x-1)\)

③-أ) بالتشابه : \(\dfrac{BG}{AD} = \dfrac{BE}{AE}\) و \(AD=BC=x+2\)، فينتج \(BG = x+1\)

③-ب) مساحة \(DCG = \dfrac{(2x+3)^2}{2} = 8 \Rightarrow (2x+3)^2=16 \Rightarrow A=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

✅ التصحيح المفصّل

① حساب \(A\) عند \(x = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) :
\[2x+3 = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+3 = (\sqrt{3}-1)+3 = \sqrt{3}+2\] \[A = (2x+3)^2-16 = (\sqrt{3}+2)^2-16 = 3+4\sqrt{3}+4-16 = \boxed{-9+4\sqrt{3}}\]

②-أ) إثبات \(A = (2x+3)^2-16\) :
\[(2x+3)^2-16 = 4x^2+12x+9-16 = 4x^2+12x-7 = A \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]

②-ب) استنتاج \(A = (2x+7)(2x-1)\) :
\[A = (2x+3)^2-4^2 = \big[(2x+3)+4\big]\big[(2x+3)-4\big] = \boxed{(2x+7)(2x-1)}\]

③-أ) إثبات \(BG = x+1\) :
بما أنّ \(ABCD\) مستطيل فإنّ \(AB \parallel DC\) و \(AB = DC = 2x+3\).
لدينا \(BC = AE\) (معطى)، و \(AE = AB-EB = (2x+3)-(x+1) = x+2\)، إذًا \(BC = AD = x+2\).
المستقيمان \((AD)\) و \((BG)\) متوازيان (لأنّ \(G\) على امتداد \((BC)\))، فالمثلثان \(AED\) و \(BEG\) متشابهان (زوايا متبادلة داخليا)، ومنه : \[\dfrac{BG}{AD} = \dfrac{BE}{AE} = \dfrac{x+1}{x+2}\] وبما أنّ \(AD = x+2\) : \[BG = AD \times \dfrac{x+1}{x+2} = (x+2)\times\dfrac{x+1}{x+2} = \boxed{x+1}\]

③-ب) إيجاد \(x\) بمعلومية مساحة \(DCG = 8\text{ cm}^2\) :
المثلث \(DCG\) قاعدته \(DC = 2x+3\) وارتفاعه المقابل \(GC = BC+BG = (x+2)+(x+1) = 2x+3\). \[\mathcal{A}_{DCG} = \dfrac{1}{2}\times DC \times GC = \dfrac{1}{2}(2x+3)(2x+3) = \dfrac{(2x+3)^2}{2}\] نساويها بـ \(8\) : \[\dfrac{(2x+3)^2}{2} = 8 \;\Rightarrow\; (2x+3)^2 = 16 \;\Rightarrow\; (2x+3)^2-16 = 0 \;\Rightarrow\; A = 0\] ومن التفكيك : \((2x+7)(2x-1) = 0\)، أي \(2x+7=0\) أو \(2x-1=0\) : \[2x+7 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{7}{2}\]  (مرفوض لأنّ \(x>0\)) \[2x-1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{1}{2}\text{ cm}}\]

🩺 تذكير وعلاج

تذكّر جيّدا :

  • المتطابقة \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)، ومنها \((2x+3)^2 = 4x^2+12x+9\).
  • فرق مربّعين : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) مع \(16=4^2\).
  • مساحة مثلث : \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\times\) القاعدة \(\times\) الارتفاع.
  • في المستطيل : الأضلاع المتقابلة متقايسة ومتوازية (\(AB=DC\)، \(AD=BC\)).
  • عند وجود شرط \(x>0\) : ارفض كلّ حلّ سالب.

⚠️ أخطاء شائعة يجب تجنّبها :

  • نسيان الحدّ \(9\) أو الإشارة عند نشر \((2x+3)^2\).
  • قبول الحلّ \(x=-\dfrac{7}{2}\) رغم أنّ \(x>0\).
  • الخلط بين القاعدة والارتفاع في مساحة المثلث.

🎯 تمرين علاجي إضافي : ليكن \(B = 9x^2+6x-8\).
  1) بيّن أنّ \(B=(3x+1)^2-9\).  2) فكّك \(B\).  3) حل \(B=0\).
(الإجابة : \(B=(3x+4)(3x-2)\)، \(S=\left\{-\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right\}\)).

🏠 العودة إلى الفهرس ⬅️ التمرين 14