الجذاآت المعتبرة — التمرين 14

التمرين 14 الجذاآت المعتبرة — النشر والتفكيك وحل المعادلات

🧮 نص التمرين

نعتبر العبارات التالية :

\(E = (x+1)^2-9 \qquad F = x^2+3x-4 \qquad G = 8-2x-x^2\)

1) أ- احسب \(E\) في حالة \(x = 2\sqrt{2}\) ب- احسب \(F\) في حالة \(x = \sqrt{2}+1\)

2) أ- أنشر واختصر \(E\) ب- استنتج أنّ \(E\) مقابل \(G\)

3) بيّن أنّ \(F = (x+4)(x-1)\)

4) فكّك \(E\) إلى جذاء عوامل

5) لتكن \(A = E+F\)
أ- بيّن باستعمال التفكيك أنّ \(A = (2x-3)(x+4)\)
ب- استنتج مجموعة حلول المعادلة : \((x+1)^2-9 = -x^2-3x+4\)

اكتشف الحل على ثلاث مراحل : تلميح ← خطوات ← تصحيح مفصّل

💡 تلميح — أفكار للانطلاق

2-أ) انشر \((x+1)^2-9\) مستعملا \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)، ثمّ قارن الناتج مع \(G = 8-2x-x^2\).
2-ب) عددان متقابلان إذا كان مجموعهما \(0\) : احسب \(E+G\).
4) اكتب \(E = x^2+2x-8\) على شكل \((x+1)^2-9\) (إكمال المربّع)، ثمّ استعمل فرق مربّعين \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) مع \(9=3^2\).
5-أ) لديك \(E = (x+4)(x-2)\) و \(F = (x+4)(x-1)\) : أخرج العامل المشترك \((x+4)\).
5-ب) لاحظ أنّ الطرف الأيمن \(-x^2-3x+4 = -F\)، فتصبح المعادلة \(E = -F\) أي \(A = E+F = 0\).

🔢 خطوات الحل — باختصار

1-أ) \(E = (2\sqrt{2}+1)^2-9 = 8+4\sqrt{2}+1-9 = 4\sqrt{2}\)

1-ب) \(F = (\sqrt{2}+1)^2+3(\sqrt{2}+1)-4 = 2+2\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}+3-4 = 2+5\sqrt{2}\)

2-أ) \(E = x^2+2x+1-9 = x^2+2x-8\)

2-ب) \(E+G = (x^2+2x-8)+(8-2x-x^2) = 0\)

3) \((x+4)(x-1)=x^2+3x-4=F\)

4) \(E = (x+1)^2-3^2 = (x+4)(x-2)\)

5-أ) \(A = (x+4)(x-2)+(x+4)(x-1) = (x+4)(2x-3)\)

5-ب) \((x+1)^2-9 = -x^2-3x+4 \;\Rightarrow\; E = -F \;\Rightarrow\; A = 0\)

✅ التصحيح المفصّل

1-أ) حساب \(E\) عند \(x = 2\sqrt{2}\) :
\[E = (2\sqrt{2}+1)^2-9 = (8+4\sqrt{2}+1)-9 = 9+4\sqrt{2}-9 = \boxed{4\sqrt{2}}\]

1-ب) حساب \(F\) عند \(x = \sqrt{2}+1\) :
\[F = (\sqrt{2}+1)^2+3(\sqrt{2}+1)-4 = 2+2\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}+3-4 = \boxed{2+5\sqrt{2}}\]

2-أ) نشر \(E\) :
\[E = (x+1)^2-9 = x^2+2x+1-9 = \boxed{x^2+2x-8}\]

2-ب) \(E\) مقابل \(G\) :
\[E+G = (x^2+2x-8)+(8-2x-x^2) = 0\] بما أنّ \(E+G = 0\) فإنّ \(E\) و \(G\) متقابلان.

3) إثبات \(F = (x+4)(x-1)\) :
\[(x+4)(x-1) = x^2-x+4x-4 = x^2+3x-4 = F \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]

4) تفكيك \(E\) :
\[E = (x+1)^2-3^2 = \big[(x+1)+3\big]\big[(x+1)-3\big] = \boxed{(x+4)(x-2)}\]

5-أ) إثبات \(A = (2x-3)(x+4)\) :
\[A = E+F = (x+4)(x-2)+(x+4)(x-1) = (x+4)\big[(x-2)+(x-1)\big] = \boxed{(x+4)(2x-3)} \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]

5-ب) مجموعة حلول \((x+1)^2-9 = -x^2-3x+4\) :
نعيد كتابة الطرف الأيمن : \(-x^2-3x+4 = -(x^2+3x-4) = -F\).
إذًا المعادلة هي \(E = -F\) أي \(E+F = 0\) أي \(A = 0\) : \[(x+4)(2x-3) = 0\] ومنه \(x+4 = 0\) أو \(2x-3 = 0\)، أي : \[\boxed{S = \left\{-4 \;;\; \dfrac{3}{2}\right\}}\]

🩺 تذكير وعلاج

تذكّر جيّدا :

المتطابقات الشهيرة : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)، \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
فرق مربّعين : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) — مفتاح التفكيك في السؤال 4.
عددان متقابلان \(\Leftrightarrow\) مجموعهما \(=0\).
قانون الجذاء الصفري : \(a\cdot b = 0 \Leftrightarrow a=0\) أو \(b=0\) — أساس حل السؤال 5-ب.

⚠️ أخطاء شائعة يجب تجنّبها :

نسيان \(-9\) عند نشر \((x+1)^2-9\) : لا تكتب \(x^2+2x+1\) فقط !
الخلط بين \(a^2-b^2\) و \((a-b)^2\).
عند حل \(a\cdot b=0\) لا تقسم على \(x\) : بل استعمل قانون الجذاء الصفري لإيجاد كلّ الحلول.

🎯 تمرين علاجي إضافي : ليكن \(H = (x-2)^2-16\).
1) أنشر واختصر \(H\). 2) فكّك \(H\). 3) حل المعادلة \(H=0\).
(الإجابة : \(H=x^2-4x-12\)، \(H=(x-6)(x+2)\)، \(S=\{-2\,;\,6\}\)).

🏠 العودة إلى الفهرس ➡️ التمرين 15