الجذاآت المعتبرة — التمرين 13

📘 السنة 9 أساسي 🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة 👨‍🏫 الأستاذ فوزي الغربي
التمرين 13  (4 نقاط) (4−x)²−9 + مساحة شبه المنحرف

🧮 نص التمرين

I) \(A = (4-x)^2-9\)
1- فكّك \(A\) إلى جذاء عوامل
2- أوجد \(x\) حيث \(A = 0\)
3- بيّن أن \(A+5 = (6-x)(2-x)\)
II) مثلث \(OAB\) قائم في \(O\)، \(OA = 4\)، \(OB = 2\)، \(K\) منتصف \([AB]\)، \(M \in [OA]\) حيث \(OM = x\) (\(0 < x < 2\))، \(\Delta\) عمودي على \((OA)\) من \(M\) يقطع \((AB)\) في \(N\).
1- بيّن أن \(MN = \dfrac{4-x}{2}\)
2- \(P\) مسقط \(K\) على \((OA)\)، \(S\) مساحة شبه المنحرف \(MNKP\)
أ- بيّن أن \(KP = 1\)
ب- بيّن أن \(S = \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x)\)
3- أوجد \(x\) حيث \(4S = 5\)
اكتشف الحل على ثلاث مراحل : تلميح ← خطوات ← تصحيح مفصّل

💡 تلميح — أفكار للانطلاق

  • I-1) \(A = (4-x)^2-3^2\) — فرق مربعين
  • II-1) \(\Delta \parallel OB\) لأن كليهما عمودي على \((OA)\) — استعمل التشابه
  • II-2-أ) \(K\) منتصف \([AB]\) و\(P\) مسقطه على \((OA)\) — استعمل واسط المثلث
  • II-3) \(4S = 5\) → \((6-x)(2-x) = 5\) → انشر وحل

🔢 خطوات الحل — باختصار

I-1) \(A = (4-x-3)(4-x+3) = (1-x)(7-x)\)

I-3) \(A+5 = (4-x)^2-9+5 = (4-x)^2-4\) \((4-x)^2-4 = (4-x-2)(4-x+2) = (2-x)(6-x)\) ✓

II-1) \(\Delta \perp OA\) و \(OB \perp OA\) → \(\Delta \parallel OB\) المثلث \(OAB\) : \(M \in OA\) مع \(MN \parallel OB\) → تشابه : \(\dfrac{MN}{OB} = \dfrac{MA}{OA} = \dfrac{OA-OM}{OA} = \dfrac{4-x}{4}\) → \(MN = 2 \times \dfrac{4-x}{4} = \dfrac{4-x}{2}\)

II-2-أ) \(K\) منتصف \([AB]\)، \(P\) مسقطه على \((OA)\) → \([KP]\) واسط المثلث \(OAB\) بين منتصف \([AB]\) ومنتصف \([OB]\)... لا. بل نستعمل التشابه : \(OP = OA/2 = 2\)، \(KP = OB/2 = 1\)

II-2-ب) \(MN + KP = \dfrac{4-x}{2}+1\)، \(MP = OP-OM = 2-x\) \(S = \dfrac{1}{2}(MN+KP) \cdot MP = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4-x}{2}+1\right)(2-x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6-x}{2} \cdot (2-x) = \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x)\)

✅ التصحيح المفصّل

I-1) تفكيك \(A\) :

\[A = (4-x)^2-3^2 = \big[(4-x)+3\big]\big[(4-x)-3\big] = \boxed{(7-x)(1-x)}\]

I-2) حل \(A = 0\) :

\[(7-x)(1-x) = 0\] \[\boxed{x = 7 \quad \text{أو} \quad x = 1}\]

I-3) إثبات \(A+5 = (6-x)(2-x)\) :

\[A+5 = (4-x)^2-9+5 = (4-x)^2-4 = (4-x)^2-2^2\] \[= \big[(4-x)+2\big]\big[(4-x)-2\big] = (6-x)(2-x) \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]

II-1) إثبات \(MN = \dfrac{4-x}{2}\) :

\(\Delta \perp (OA)\) في \(M\)، و\(OB \perp OA\) في \(O\) → \(\Delta \parallel (OB)\)

في المثلث \(OAB\)، المستقيم من \(M\) الموازي لـ \(OB\) يقطع \(AB\) في \(N\) : \[\dfrac{MN}{OB} = \dfrac{AM}{AO} = \dfrac{AO-OM}{AO} = \dfrac{4-x}{4}\] \[MN = OB \times \dfrac{4-x}{4} = 2 \times \dfrac{4-x}{4} = \boxed{\dfrac{4-x}{2}}\]

II-2-أ) إثبات \(KP = 1\) :

\(K\) منتصف \([AB]\)، \(P\) مسقطه على \((OA)\). المستقيم من \(K\) الموازي لـ \(OB\) يقطع \(OA\) في \(P\) (نفس الاستدلال) : \[\dfrac{KP}{OB} = \dfrac{AK}{AB} = \dfrac{1}{2}\] \[KP = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{2}{2} = \boxed{1}\]

وأيضاً : \(OP = \dfrac{OA}{2} = 2\)

II-2-ب) إثبات \(S = \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x)\) :

\(MNKP\) شبه منحرف، قاعدتاه \([MN]\) و \([KP]\)، ارتفاعه \(MP\) : \[MP = OP-OM = 2-x\]

\[S = \dfrac{1}{2}(MN+KP) \times MP = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4-x}{2}+1\right)(2-x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4-x+2}{2} \cdot (2-x)\] \[= \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x) \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]

II-3) حل \(4S = 5\) :

\[4 \times \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x) = 5\] \[(6-x)(2-x) = 5\] \[12-6x-2x+x^2 = 5\] \[x^2-8x+7 = 0\] \[(x-1)(x-7) = 0\]

بما أن \(0 < x < 2\) : \(\boxed{x = 1}\)

(نرفض \(x = 7\) لأنه خارج المجال)

🩺 تذكير وعلاج

تذكّر جيّدا :

  • فرق مربّعين : \((4-x)^2-9=(1-x)(7-x)\).
  • مستقيمان متوازيان \(\Rightarrow\) طالس ؛ مبرهنة المنتصفين.
  • مساحة شبه منحرف \(=\dfrac{1}{2}(B+b)\times h\).
  • قانون الجذاء الصفري + احترام المجال \(0

⚠️ أخطاء شائعة يجب تجنّبها :

  • الخطأ في تعيين قاعدتَي وارتفاع شبه المنحرف.
  • قبول حلّ خارج المجال \(0

🎯 تمرين علاجي إضافي : فكّك \((5-x)^2-4\) ثمّ حل \((5-x)^2-4=0\).
(الإجابة : \((3-x)(7-x)\) ، \(S=\{3\,;\,7\}\).)

⬅️ التمرين 12 ➡️ التمرين 14