نص التمرين
1) كم عدد الأعداد الزوجيّة التي تتكوّن من ثلاثة أرقام؟
2) كم عدد الأعداد الفرديّة التي تتكوّن من ثلاثة أرقام ورقمُ عشراتها مضاعفٌ للعدد 5؟
3) كم عدد الأعداد الفرديّة التي تتكوّن من ثلاثة أرقام، ورقمُ عشراتها مضاعفٌ للعدد 4، ورقمُ مئاتها يقسم رقمَ عشراتها؟
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
السؤالان 1 و2 مباشران: كلّ شرطٍ يخصّ موضعًا واحدًا ⟶ اُضرب.
السؤال 3 مختلفٌ جذريًّا. الشرط «رقم المئات يقسم رقم العشرات» يربط موضعين. عددُ اختيارات المئات يتغيّر حسب ما اخترناه للعشرات ⟶ مبدأ الجداء لا ينطبق مباشرة.
الحلّ: ناقش حسب رقم العشرات (3 حالات فقط)، اُحسب كلّ حالة، ثمّ اِجمع.
وحالة «العشرات = 0» تستحقّ توقّفًا: من يقسم 0؟
المرحلة 2: منهجية الحل
- 1 و2) اُضرب أعداد الاختيارات مباشرة.
- 3) اُكتب الحالات الثلاث لرقم العشرات (0 ، 4 ، 8).
- لكلّ حالة، اُحسب عدد الأرقام التي تقسم رقم العشرات (بين 1 و9).
- اُضرب في 5 (الآحاد فرديّ)، ثمّ اِجمع الحالات.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) أعداد زوجيّة من ثلاثة أرقام
المئات: 9 · العشرات: 10 · الآحاد (زوجيّ): \(\{0;2;4;6;8\}\) ⟶ 5
\(9\times 10\times 5=\mathbf{450}\)
2) أعداد فرديّة، عشراتها مضاعفٌ للعدد 5
مضاعفات 5 بين الأرقام: \(\{0\,;\,5\}\) ⟶ 2.
\(9\times \mathbf{2}\times 5=\mathbf{90}\)
3) فرديّة، عشرات مضاعفٌ لـ4، ومئات تقسم العشرات
رقم العشرات مضاعفٌ لـ4 ⟶ \(\{0\,;\,4\,;\,8\}\). ندرس الحالات الثلاث:
| رقم العشرات | الأرقام (1..9) التي تقسمه | عدد المئات | الآحاد | الجزئيّ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1;2;3;4;5;6;7;8;9 (كلّها!) | 9 | 5 | \(9\times5=45\) |
| 4 | 1 ; 2 ; 4 | 3 | 5 | \(3\times5=15\) |
| 8 | 1 ; 2 ; 4 ; 8 | 4 | 5 | \(4\times5=20\) |
\(45+15+20=\mathbf{80}\) عددًا
لماذا كلّ الأرقام تقسم 0؟ لأنّ \(0=d\times 0\) مهما كان \(d\) غير منعدم. فحالةُ «العشرات = 0» لا تُقيّد المئات إطلاقًا — وهي وحدها تُعطي أكثر من نصف الحلول (45 من 80). تجاهُلها يُنقص الجواب إلى 35.
لماذا جمعنا هنا ولم نضرب؟ لأنّ الحالات الثلاث (عشرات = 0 أو 4 أو 8) منفصلة: العدد لا يمكن أن يكون في حالتين معًا. الجداء يُستعمل للمواضع المستقلّة، والجمع يُستعمل للحالات المنفصلة. اِخلطْ بينهما وينهار كلّ شيء.