التمرين 058 — تعداد — أعداد فردية

🌳 التعداد⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

1) كم عدد الأعداد الفرديّة التي تتكوّن من ثلاثة أرقام؟ 2) كم عدد الأعداد الفرديّة التي تتكوّن من ثلاثة أرقام ورقمُ عشراتها مضاعفٌ للعدد 4؟ 3) كم عدد الأعداد الفرديّة التي تتكوّن من ثلاثة أرقام، ورقمُ عشراتها مضاعفٌ للعدد 4، ورقمُ مئاتها يقسم العدد 12؟

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

انتبه: النصّ لا يقول «أرقام مختلفة». إذن التكرار مسموح (العدد 111 صالح).

هذا يُبسّط كلّ شيء: كلّ موضعٍ مستقلٌّ تمامًا عن الآخرين ⟶ نضرب ولا نُنقص شيئًا.

الأسئلة الثلاثة متتالية: كلّ سؤالٍ يُضيف شرطًا واحدًا. لا تُعِد الحساب من الصفر — غيِّر عاملاً واحدًا فقط.

المرحلة 2: منهجية الحل

حدّد لكلّ موضعٍ (مئات ، عشرات ، آحاد) مجموعةَ الأرقام المسموحة.
لا تنسَ: رقم المئات لا يمكن أن يكون 0.
اُضرب أعداد الاختيارات.
عند كلّ سؤالٍ جديد، لاحظ أيّ عاملٍ تغيّر فقط.

مبدأ الجداء: إذا كان لموضعٍ \(n_1\) اختيارًا، وللموضع الذي يليه \(n_2\) اختيارًا (مهما كان الاختيار الأوّل)، … فإنّ العدد الكلّي هو الجداء \(n_1\times n_2\times\dots\)
شرطٌ خفيّ: هذا صحيحٌ فقط إذا كان عددُ اختيارات كلّ موضعٍ لا يتغيّر حسب ما اخترناه قبله. عندما يظهر شرط «أرقام مختلفة»، يتغيّر العدد ⟶ ننقص 1 في كلّ مرّة.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) أعداد فرديّة من ثلاثة أرقام

المئات: \(\{1;\dots;9\}\) ⟶ 9 · العشرات: \(\{0;\dots;9\}\) ⟶ 10 · الآحاد (فرديّ): \(\{1;3;5;7;9\}\) ⟶ 5

\(9\times 10\times 5=\mathbf{450}\)

تحقّق بالفكرة: بين 100 و999 يوجد 900 عدد، ونصفها فرديّ ⟶ 450 ✓

2) + رقم العشرات مضاعفٌ للعدد 4

مضاعفات 4 بين الأرقام: \(\{0\,;\,4\,;\,8\}\) ⟶ 3 اختيارات. (لا تنسَ 0: \(0=4\times 0\))

العاملان الآخران لم يتغيّرا:

\(9\times \mathbf{3}\times 5=\mathbf{135}\)

3) + رقم المئات يقسم العدد 12

قواسم 12: \(1;2;3;4;6;12\). ومنها ما هو رقم (بين 1 و9): \(\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}\) ⟶ 5 اختيارات.

(نستبعد 12 لأنّه ليس رقمًا، و0 لأنّه لا يقسم 12 ولا يصلح رقمَ مئات.)

\(\mathbf{5}\times 3\times 5=\mathbf{75}\)

السؤال	مئات	عشرات	آحاد	الجداء
1	9	10	5	450
2	9	3	5	135
3	5	3	5	75

ما الذي يجب أن تراه في هذا الجدول؟ كلُّ شرطٍ جديدٍ لا يُغيّر إلاّ عمودًا واحدًا. هذا لأنّ كلّ شرطٍ يخصّ موضعًا واحدًا، والمواضع مستقلّة (لا شرط «مختلفة»). لو أُضيف شرط «أرقام مختلفة»، لانهار هذا الاستقلال ولوجب رسم الشجرة.