التمرين 037 — القسمة الإقليدية والحصر

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

1: لا تحاول «إيجاد» الحلّ. اُنشر الطرف الأيمن ببساطة وقارِنه بالأيسر. هذا كلّ شيء.

2: هنا يكمن جمالُ التمرين. اِقسِم المتطابقة على \(n+2\):

\(\dfrac{n^{3}-n+14}{n+2}=\left(n^{2}-2n+3\right)+\dfrac{8}{n+2}\)

الجزء الأوّل عددٌ صحيحٌ دائمًا. فالسؤال كلّه صار: متى يكون \(\dfrac{8}{n+2}\) عددًا صحيحًا؟

المرحلة 2: منهجية الحل

1. 1) اُنشر \((n+2)(n^{2}-2n+3)\) ثمّ أضِف 8، وقارِن.
2. 2) اُقسِم المتطابقة على \(n+2\) وافصل الجزء الصحيح عن الكسر.
3. اِستنتج أنّ \(n+2\) يجب أن يكون قاسمًا للعدد 8.
4. اُكتب قواسم 8، ثمّ اِحذف الحالات المستحيلة (\(n\) صحيح طبيعي ⟶ \(n+2\ge 2\)).

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) البرهان على المتطابقة

ننشر الطرف الأيمن:

\((n+2)\left(n^{2}-2n+3\right)=n^{3}-2n^{2}+3n\;+\;2n^{2}-4n+6\)

\(=n^{3}+\left(-2n^{2}+2n^{2}\right)+\left(3n-4n\right)+6=n^{3}-n+6\)

ثمّ نُضيف 8: \(\;n^{3}-n+6+8=n^{3}-n+14\) ✓

وهو الطرف الأيسر. المتطابقة صحيحة.

2) القيم الممكنة لـ \(n\)

نقسم طرفَي المتطابقة على \(n+2\) (وهو غير منعدم لأنّ \(n\ge 0\)):

\(\dfrac{n^{3}-n+14}{n+2}=n^{2}-2n+3\;+\;\dfrac{8}{n+2}\)

العدد \(n^{2}-2n+3\) صحيحٌ دائمًا. إذن الكسر كلّه يكون عددًا صحيحًا إذا وفقط إذا كان \(\dfrac{8}{n+2}\) عددًا صحيحًا، أي إذا كان \(n+2\) قاسمًا للعدد 8.

قواسم 8 الموجبة: \(1\;;\;2\;;\;4\;;\;8\).

وبما أنّ \(n\) عددٌ صحيحٌ طبيعيّ (\(n\ge 0\))، فإنّ \(n+2\ge 2\) ⟶ نستبعد الحالة \(n+2=1\).

\(n\in\{\,\mathbf{0}\;;\;\mathbf{2}\;;\;\mathbf{6}\,\}\)