🔺 النشر بالخاصية التوزيعية

تعلم كيفية نشر التعابير الجبرية باستخدام الخاصية التوزيعية والطرق المختلفة

📋 التوزيع الأساسي

الخاصية التوزيعية الأساسية

الخاصية التوزيعية هي إحدى أهم الخصائص في الجبر، وتسمح لنا بنشر (توزيع) عدد أو متغير على مجموعة من الحدود.

📐 الصيغة الأساسية

$$a(b + c) = ab + ac$$ $$a(b - c) = ab - ac$$

تمثيل بصري للتوزيع

$$3(x + 2) = 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 3x + 6$$

نوزع العدد 3 على كل حد داخل القوس

مثال 1: توزيع عدد موجب

انشر التعبير: $5(x + 3)$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نطبق الخاصية التوزيعية:
$5(x + 3) = 5 \cdot x + 5 \cdot 3$
الخطوة 2: نحسب النتيجة:
$= 5x + 15$
النتيجة النهائية: $5(x + 3) = 5x + 15$

مثال 2: توزيع عدد سالب

انشر التعبير: $-3(2x - 4)$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نوزع -3 على كل حد:
$-3(2x - 4) = (-3) \cdot 2x + (-3) \cdot (-4)$
الخطوة 2: نحسب مع مراعاة العلامات:
$= -6x + 12$
النتيجة النهائية: $-3(2x - 4) = -6x + 12$

مثال 3: توزيع متغير

انشر التعبير: $x(y + 5)$

$x(y + 5) = x \cdot y + x \cdot 5 = xy + 5x$

⚠️ ملاحظات مهمة

  • عند التوزيع، يجب ضرب العامل الخارجي في كل حد داخل القوس
  • انتبه لعلامات الحدود: موجب × سالب = سالب، سالب × سالب = موجب
  • لا تنسَ توزيع العامل على الحد الأخير!

🎯 التوزيع المتقدم

توزيع تعابير أكثر تعقيداً

يمكن تطبيق الخاصية التوزيعية على تعابير أكثر تعقيداً تحتوي على عدة متغيرات أو حدود كثيرة.

📐 الصيغة العامة

$$a(b + c + d + ...) = ab + ac + ad + ...$$

مثال 1: توزيع على ثلاثة حدود

انشر التعبير: $2x(3y + 4z - 5)$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نوزع $2x$ على كل حد:
$2x(3y + 4z - 5) = 2x \cdot 3y + 2x \cdot 4z + 2x \cdot (-5)$
الخطوة 2: نبسط كل حد:
$= 6xy + 8xz - 10x$
النتيجة النهائية: $2x(3y + 4z - 5) = 6xy + 8xz - 10x$

مثال 2: توزيع تعبير جبري

انشر التعبير: $(a + b)(x + y)$ باستخدام التوزيع المتدرج

خطوات الحل:

الخطوة 1: نوزع $(a + b)$ على كل حد في $(x + y)$:
$(a + b)(x + y) = (a + b) \cdot x + (a + b) \cdot y$
الخطوة 2: نوزع مرة أخرى:
$= ax + bx + ay + by$
النتيجة النهائية: $(a + b)(x + y) = ax + bx + ay + by$

مثال 3: توزيع مع كسور

انشر التعبير: $\frac{1}{2}(4x + 6y - 2)$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نوزع $\frac{1}{2}$ على كل حد:
$\frac{1}{2}(4x + 6y - 2) = \frac{1}{2} \cdot 4x + \frac{1}{2} \cdot 6y + \frac{1}{2} \cdot (-2)$
الخطوة 2: نبسط الكسور:
$= 2x + 3y - 1$
النتيجة النهائية: $\frac{1}{2}(4x + 6y - 2) = 2x + 3y - 1$

📲 التوزيع المزدوج

ضرب ذي الحدين في ذي الحدين

عندما نضرب تعبيرين كل منهما يحتوي على حدين، نحتاج لتطبيق التوزيع مرتين.

📐 قاعدة FOIL

$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

FOIL: First, Outer, Inner, Last

بالعربية: الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير

شرح بصري لـ FOIL

$$(x + 3)(x + 2)$$

الأول: $x \times x = x^2$

الخارجي: $x \times 2 = 2x$

الداخلي: $3 \times x = 3x$

الأخير: $3 \times 2 = 6$

$$= x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$$

مثال 1: ضرب ذي حدين موجبين

انشر التعبير: $(x + 4)(x + 5)$

خطوات الحل بطريقة FOIL:

الأول (First): $x \times x = x^2$
الخارجي (Outer): $x \times 5 = 5x$
الداخلي (Inner): $4 \times x = 4x$
الأخير (Last): $4 \times 5 = 20$
الجمع: $x^2 + 5x + 4x + 20 = x^2 + 9x + 20$
النتيجة النهائية: $(x + 4)(x + 5) = x^2 + 9x + 20$

مثال 2: ضرب مع علامات مختلطة

انشر التعبير: $(2x - 3)(x + 4)$

خطوات الحل:

الأول: $2x \times x = 2x^2$
الخارجي: $2x \times 4 = 8x$
الداخلي: $(-3) \times x = -3x$
الأخير: $(-3) \times 4 = -12$
الجمع: $2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12$
النتيجة النهائية: $(2x - 3)(x + 4) = 2x^2 + 5x - 12$

مثال 3: الحالات الخاصة

أ) مربع المجموع

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

$= a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

مثال 4: الحالات الخاصة

ب) فرق المربعين

$(a + b)(a - b)$

$= a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

🎯 الحالات الخاصة المهمة

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

💡 تطبيقات التوزيع

1. حل المعادلات

التوزيع خطوة أساسية في حل كثير من المعادلات.

مثال: حل معادلة

حل المعادلة: $3(x + 2) = 15$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نطبق التوزيع:
$3x + 6 = 15$
الخطوة 2: نطرح 6 من الطرفين:
$3x = 9$
الخطوة 3: نقسم على 3:
$x = 3$
الحل: $x = 3$

2. تبسيط التعابير

التوزيع يساعد في تبسيط التعابير المعقدة.

مثال: تبسيط تعبير

بسط: $2(x + 3) + 5(x - 1)$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نوزع في كل قوس:
$2x + 6 + 5x - 5$
الخطوة 2: نجمع الحدود المتشابهة:
$(2x + 5x) + (6 - 5) = 7x + 1$
النتيجة: $7x + 1$

3. حساب المساحات

التوزيع مفيد في حساب مساحات الأشكال الهندسية.

مثال: مساحة مستطيل

مستطيل طوله $(x + 5)$ وعرضه $(x + 3)$. أوجد مساحته.

خطوات الحل:

المساحة: الطول × العرض
$A = (x + 5)(x + 3)$
التوزيع:
$A = x^2 + 3x + 5x + 15 = x^2 + 8x + 15$
المساحة: $x^2 + 8x + 15$ وحدة مربعة

4. المسائل الكلامية

مثال: مسألة كلامية

يشتري أحمد 3 أقلام و 3 كراسات. سعر القلم $x$ دينار وسعر الكراسة $(x + 2)$ دينار. كم دفع أحمد؟

خطوات الحل:

تكلفة الأقلام: $3x$
تكلفة الكراسات: $3(x + 2)$
التكلفة الإجمالية:
$3x + 3(x + 2) = 3x + 3x + 6 = 6x + 6$
النتيجة: دفع أحمد $(6x + 6)$ دينار

💪 تمارين شاملة

تمرين 1: التوزيع الأساسي

انشر التعابير التالية:

أ) $4(x + 7)$     ب) $-2(3y - 5)$

ج) $x(2x + 3)$     د) $-y(4 - 3y)$

الحلول:
أ) $4x + 28$     ب) $-6y + 10$
ج) $2x^2 + 3x$     د) $-4y + 3y^2$

تمرين 2: التوزيع المزدوج

انشر التعابير التالية:

أ) $(x + 2)(x + 6)$

ب) $(2y - 1)(y + 3)$

ج) $(a + 4)(a - 4)$

الحلول:
أ) $x^2 + 8x + 12$
ب) $2y^2 + 5y - 3$
ج) $a^2 - 16$

تمرين 3: مسائل تطبيقية

1. حل المعادلة: $2(x + 3) = 14$

2. بسط التعبير: $3(2x - 1) + 4(x + 2)$

3. مربع طول ضلعه $(x + 1)$ سم. أوجد مساحته.

الحلول:
1. $x = 4$
2. $10x + 5$
3. $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ سم²
🏠 العودة للفهرس 📖 الدرس التالي