🔗 التفكيك بالعامل المشترك

تعلم كيفية تفكيك التعابير الجبرية باستخدام العامل المشترك والطرق المتقدمة

📋 مقدمة حول التفكيك

التفكيك هو عملية تحويل تعبير جبري من شكل مجموع أو فرق إلى شكل جداء. العامل المشترك هو أبسط طرق التفكيك وأكثرها استخداماً.

📌 تعريف العامل المشترك

العامل المشترك هو العدد أو المتغير أو التعبير الذي يقسم جميع حدود التعبير الجبري بدون باقي.

📋 العامل المشترك البسيط

القاعدة الأساسية:

$$ab + ac = a(b + c)$$

مثال 1: تفكيك بسيط

فكك التعبير: $6x + 9$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نحدد العامل المشترك الأكبر للمعاملات: أ.ع.م(6, 9) = 3
الخطوة 2: نكتب كل حد كجداء العامل المشترك في عامل آخر:
$6x = 3 \times 2x$ و $9 = 3 \times 3$
الخطوة 3: نطبق قانون التوزيع بالعكس:
$6x + 9 = 3(2x + 3)$
الحل النهائي: $6x + 9 = 3(2x + 3)$

مثال 2: تفكيك مع متغيرات

فكك التعبير: $12a^2 + 8a$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نحدد العامل المشترك للمعاملات: أ.ع.م(12, 8) = 4
الخطوة 2: نحدد العامل المشترك للمتغيرات: $a$ (أصغر قوة)
الخطوة 3: العامل المشترك الكامل هو: $4a$
الخطوة 4: نطبق التفكيك:
$12a^2 + 8a = 4a(3a + 2)$
الحل النهائي: $12a^2 + 8a = 4a(3a + 2)$

🎯 العامل المشترك المركب

أحياناً يكون العامل المشترك عبارة عن تعبير جبري كامل وليس مجرد عدد أو متغير واحد.

مثال 3: عامل مشترك مركب

فكك التعبير: $a(x + 2) + b(x + 2)$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نلاحظ أن $(x + 2)$ عامل مشترك
الخطوة 2: نطبق قانون التوزيع بالعكس:
$a(x + 2) + b(x + 2) = (x + 2)(a + b)$
الحل النهائي: $(x + 2)(a + b)$

مثال 4: تفكيك بالتجميع

فكك التعبير: $xy + 2x + 3y + 6$

خطوات الحل:

الخطوة 1: نجمع الحدود في مجموعتين:
$(xy + 2x) + (3y + 6)$
الخطوة 2: نفكك كل مجموعة على حدة:
$x(y + 2) + 3(y + 2)$
الخطوة 3: نفكك العامل المشترك $(y + 2)$:
$(y + 2)(x + 3)$
الحل النهائي: $(y + 2)(x + 3)$

✏️ تمارين التفكيك

تمرين 1

فكك التعابير التالية:

أ) $15x + 10$

ب) $21a^2 - 14a$

ج) $8xy + 12x$

الحلول:
أ) $15x + 10 = 5(3x + 2)$
ب) $21a^2 - 14a = 7a(3a - 2)$
ج) $8xy + 12x = 4x(2y + 3)$

تمرين 2

فكك بالتجميع:

أ) $ac + bc + ad + bd$

ب) $2x + 6 + xy + 3y$

الحلول:
أ) $ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d)$
ب) $2x + 6 + xy + 3y = 2(x + 3) + y(x + 3) = (x + 3)(2 + y)$

✅ التحقق من التفكيك

🔍 كيفية التحقق

للتحقق من صحة التفكيك، ننشر الجداء ونتأكد أننا نحصل على التعبير الأصلي.

مثال على التحقق

تحقق من: $6x + 9 = 3(2x + 3)$

التحقق:

ننشر الطرف الأيمن: $3(2x + 3) = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$ ✓
🏠 العودة للفهرس 📖 الدرس التالي