تمرين 12: معادلات القيمة المطلقة - المجموعة الثالثة
أوجد العدد الصحيح النسبي x في كل حالة من الحالات التالية، إن أمكن ذلك:
| x | العبارة |
| $$|x| = |-7|$$ | |
| $$|x-4| = 8$$ | |
| $$|x-2| = -5$$ | |
| $$|x|+3 = |-9|$$ |
| x | العبارة |
| $$x = |13|$$ | |
| $$x = |-14|$$ | |
| $$|x| = 25$$ | |
| $$|x| = -8$$ |
الحل:
| x | العبارة |
| $$x = 7$$ أو $$x = -7$$ | $$|x| = 7$$ |
| $$x = 12$$ أو $$x = -4$$ | $$|x-4| = 8$$ |
| لا يوجد حل | $$|x-2| = -5$$ |
| $$x = 6$$ أو $$x = -6$$ | $$|x|+3 = 9$$ |
| x | العبارة |
| $$x = 13$$ | $$x = |13|$$ |
| $$x = 14$$ | $$x = |-14|$$ |
| $$x = 25$$ أو $$x = -25$$ | $$|x| = 25$$ |
| لا يوجد حل | $$|x| = -8$$ |
تمرين 13: مجموعة شاملة
لتكن المجموعة التالية: $$E = \{0;1;-1;-2;3;4;5;-5;-6\}$$
نعتبر A مجموعة الأعداد الموجبة و المنتمية إلى المجموعة E.
نعتبر B مجموعة الأعداد السالبة و المنتمية إلى المجموعة E.
1) حدد عناصر كل من المجموعتين A و B.
2) حدد عناصر كل من المجموعات التالية:
- $$C$$ : مجموعة الأعداد $$x$$ المنتمية إلى $$E$$ حيث $$|x| = 4$$
- $$D$$ : مجموعة الأعداد $$x$$ المنتمية إلى $$E$$ حيث $$x = |-1|$$
- $$F$$ : مجموعة الأعداد $$x$$ المنتمية إلى $$E$$ حيث $$|x| < 5$$
- $$G$$ : مجموعة الأعداد $$x$$ المنتمية إلى $$E$$ حيث $$|x| = -1$$
الحل:
1) المجموعتان A و B:
- $$A = \{1;3;4;5\}$$ (الأعداد الموجبة في E)
- $$B = \{-1;-2;-5;-6\}$$ (الأعداد السالبة في E)
2) المجموعات المطلوبة:
- $$C = \{4\}$$ (فقط 4 في E له قيمة مطلقة تساوي 4)
- $$D = \{1\}$$ ($$|-1| = 1$$)
- $$F = \{0;1;-1;-2;3;4\}$$ (الأعداد في E التي قيمتها المطلقة أقل من 5)
- $$G = \emptyset$$ (لا يمكن للقيمة المطلقة أن تساوي -1)
5تخريط المستقيم العددي - قطار الأرقام السحري
قطار الأرقام السحري
تخيل قطاراً سحرياً يسير على خط مستقيم لا نهائي! المحطة الرئيسية هي الصفر, والقطار يمكنه السير يميناً نحو الأرقام الموجبة أو يساراً نحو الأرقام السالبة. كل محطة تبعد مسافة واحدة عن المحطة التالية!
المستقيم العددي (خط القطار السحري)
🚂 ← الاتجاه السالب | المحطة الرئيسية | الاتجاه الموجب → 🚂
قواعد السفر في قطار الأرقام:
- المحطة الصفر: نقطة البداية والمرجع لجميع المحطات
- الاتجاه الموجب (يمين): 1، 2، 3، 4، ...
- الاتجاه السالب (يسار): -1، -2، -3، -4، ...
- المسافة بين محطتين: هي الفرق بينهما
أمثلة على المسافات في خط القطار:
- المسافة من 3 إلى 7: |7 - 3| = 4 محطات
- المسافة من -2 إلى 5: |5 - (-2)| = 7 محطات
- المسافة من -6 إلى -1: |-1 - (-6)| = 5 محطات
- المسافة من أي عدد إلى الصفر: هي قيمته المطلقة
ترتيب الأعداد على المستقيم العددي
قاعدة الترتيب:
على المستقيم العددي، كلما اتجهنا يميناً، تزداد قيمة الأعداد:
$$... < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...$$
- أي عدد موجب أكبر من أي عدد سالب
- بين عددين سالبين، الأكبر هو الأقرب للصفر
- الصفر أكبر من جميع الأعداد السالبة وأصغر من جميع الأعداد الموجبة
رحلة تطبيقية مع قطار الأرقام
1) رتب الأعداد التالية ترتيباً تصاعدياً: -7، 3، -1، 0، 5، -4
2) أوجد المسافة بين النقطتين A(-3) و B(8) على المستقيم العددي
3) أي الأعداد أقرب للصفر: -15 أم 12؟
الحلول:
1) الترتيب التصاعدي:
نضع الأعداد على المستقيم من اليسار لليمين:
-7 < -4 < -1 < 0 < 3 < 5
2) المسافة بين A(-3) و B(8):
المسافة = |8 - (-3)| = |8 + 3| = |11| = 11 وحدة
3) أقرب عدد للصفر:
المسافة من -15 للصفر: |-15| = 15
المسافة من 12 للصفر: |12| = 12
إذن العدد 12 أقرب للصفر من -15
تمرين 14: الرسم على المستقيم المدرج
في الرسم التالي Δ مستقيم مدرج بالمعين (O;I):
1) عين النقاط A و B حيث $$x_A = -2$$ و $$x_B = 4$$
2) عين النقطة E مناظرة النقطة A بالنسبة إلى I ثم حدد فاصلتها.
3) لتكن M ∈ Δ حيث $$IM = 3$$ و $$M ∈ [OA]$$. حدد فاصلة النقطة M ثم عينها على المستقيم Δ.
الحل:
1) تعيين النقاط:
- النقطة A تقع على بعد وحدتين يساراً من O، فاصلتها -2
- النقطة B تقع على بعد 4 وحدات يميناً من O، فاصلتها 4
2) النقطة E مناظرة A بالنسبة لـ I:
إذا كانت A فاصلتها -2 و I فاصلتها 1، فإن E تقع على نفس المسافة من I لكن في الاتجاه المعاكس
المسافة من A إلى I = |1 - (-2)| = 3
إذن فاصلة E = 1 + 3 = 4
3) النقطة M:
M ∈ [OA] وIM = 3، إذن M تقع يساراً من I بمسافة 3 وحدات
فاصلة M = 1 - 3 = -2
إذن M تتطابق مع النقطة A
تمرين 15: حسابات على المستقيم المدرج
ليكن Δ مستقيماً مدرجاً بالمعين (O;I) و A نقطة من Δ فاصلتها 45
1) ما هي فاصلة النقطة A' مناظرة A بالنسبة إلى I؟
2) ما هي فاصلة النقطة O' مناظرة O بالنسبة إلى A'؟
الحل:
المعطيات: فاصلة A = 45، فاصلة O = 0، فاصلة I = 1
1) النقطة A' مناظرة A بالنسبة لـ I:
المسافة من A إلى I = |45 - 1| = 44
A' تقع على نفس المسافة من I لكن في الاتجاه المعاكس
فاصلة A' = 1 - 44 = -43
2) النقطة O' مناظرة O بالنسبة لـ A':
المسافة من O إلى A' = |0 - (-43)| = 43
O' تقع على نفس المسافة من A' لكن في الاتجاه المعاكس
فاصلة O' = -43 - 43 = -86
تمرين 16: مسائل شاملة على المستقيم المدرج
في الرسم التالي Δ مستقيم مدرج بالمعين (O;I):
1) عين النقاط A و B و C و D التي فاصلاتها على التوالي 2 و -1 و 3 و -3
2) أكمل:
- $OA = ...........$ ; $OB = ...........$ ; $IA = ...........$ ; $AC = ...........$ ; $BD = ...........$
3) لتكن M نقطة من Δ بحيث $OM = 4$. ما هي فاصلة M في المعين (O;I)؟
4) لتكن N نقطة من Δ بحيث $IN = 6$. ما هي فاصلة N في المعين (O;I)؟
5) ما هي فاصلات النقاط B و C في المعين (C;B)؟
6) لتكن P نقطة من Δ بحيث $IP = 8$. ما هي فاصلة P في المعين (I;A)؟
7) ما هي فاصلات النقاط A و B و C و D في المعين (I;A)؟
8) ما هي فاصلات النقاط A و B و C و D في المعين (I;O)؟
الحل:
1) تعيين النقاط:
- A(2): وحدتان يميناً من O
- B(-1): وحدة واحدة يساراً من O
- C(3): ثلاث وحدات يميناً من O
- D(-3): ثلاث وحدات يساراً من O
2) إكمال المسافات:
- $OA = 2$ ; $OB = 1$ ; $IA = 1$ ; $AC = 1$ ; $BD = 2$
3) النقطة M حيث OM = 4:
M يمكن أن تكون في موقعين: فاصلة M = 4 أو فاصلة M = -4
4) النقطة N حيث IN = 6:
N يمكن أن تكون في موقعين: فاصلة N = 1+6 = 7 أو فاصلة N = 1-6 = -5
5) في المعين (C;B):
- فاصلة B = 0 (نقطة الأصل)
- فاصلة C = 4 (المسافة من B إلى C)
6) النقطة P حيث IP = 8 في المعين (I;A):
P يمكن أن تكون: فاصلة P = ±8 في المعين (I;A)
7) في المعين (I;A):
- فاصلة A = 0، فاصلة B = -2، فاصلة C = 1، فاصلة D = -4
8) في المعين (I;O):
- فاصلة A = -2، فاصلة B = 1، فاصلة C = -3، فاصلة D = 3