✖️ ضرب وقسمة الكسور ➗

السبب الرياضي العميق: قسمة شيء على $x$ تعني ضربه في $\frac{1}{x}$
مثال بسيط: $8 \div 2 = 8 \times \frac{1}{2} = 4$
تطبيق على الكسور:
فهم مقلوب الكسر: مقلوب $\frac{2}{5}$ هو $\frac{5}{2}$ لأن $\frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = 1$
المعنى الحقيقي: "كم مرة يوجد $\frac{2}{5}$ في $\frac{3}{4}$؟"

التعريف: مقلوب الكسر $\frac{a}{b}$ هو $\frac{b}{a}$ (حيث $a, b \neq 0$)
الخاصية الأساسية: أي كسر مضروب في مقلوبه يساوي 1
أمثلة:
• مقلوب $\frac{3}{7}$ هو $\frac{7}{3}$
• مقلوب $5 = \frac{5}{1}$ هو $\frac{1}{5}$
• مقلوب $\frac{1}{4}$ هو $4$
تحذير: الصفر ليس له مقلوب! (لا يوجد عدد × 0 = 1)

الطريقة الأساسية: نكتب العدد الصحيح كسراً ثم "نقلب ونضرب"
الطريقة السريعة: نضرب مقام الكسر في العدد الصحيح
المعنى: نقسم "خمسة أسداس" إلى 3 أجزاء متساوية، كل جزء = $\frac{5}{18}$
التحقق: $\frac{5}{18} \times 3 = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ ✓

التطبيق المباشر للقاعدة:
المعنى الحقيقي: "كم مرة يوجد $\frac{2}{3}$ في 4؟"
التفكير المنطقي: إذا كان $\frac{2}{3}$ يساوي قطعتين من ثلاث قطع،
فكل وحدة كاملة تحتوي على $\frac{3}{2} = 1.5$ من هذه القطع
إذن 4 وحدات تحتوي على $4 \times 1.5 = 6$ من هذه القطع
التحقق: $6 \times \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$ ✓

الخطوة 1: نحول العدد المختلط إلى كسر غير حقيقي
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
الخطوة 2: نطبق قاعدة القسمة
الخطوة 3: نحول النتيجة لعدد مختلط إذا أردنا
$\frac{28}{9} = 3\frac{1}{9}$
التحقق: $3\frac{1}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{28}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$ ✓

القاعدة: قسمة أي عدد على 1 تعطي نفس العدد
المعنى: تقسيم شيء إلى جزء واحد يعني عدم تقسيمه
ملاحظة هامة: هذا يختلف عن الضرب في 1 (الذي يعطي نفس النتيجة):
• $\frac{3}{7} \times 1 = \frac{3}{7}$ (نأخذ الكسر مرة واحدة)
• $\frac{3}{7} \div 1 = \frac{3}{7}$ (نقسم الكسر إلى جزء واحد)
النتيجة واحدة، لكن المعنى مختلف!

نعم! الضرب تبديلي (خاصية التبديل):
مثال عملي:
$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$
$\frac{5}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{21}$
المعنى: "ثلثا خمسة أسباع" = "خمسة أسباع ثلثين"
الفائدة العملية: يمكننا تغيير ترتيب الضرب لتسهيل التبسيط

نعم! الضرب تجميعي (خاصية التجميع):
البرهان:
الطرف الأيسر: $\left(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\right) \times \frac{e}{f} = \frac{ac}{bd} \times \frac{e}{f} = \frac{ace}{bdf}$
الطرف الأيمن: $\frac{a}{b} \times \left(\frac{c}{d} \times \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \times \frac{ce}{df} = \frac{ace}{bdf}$
مثال: $\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right) \times \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} \times \left(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ✓

نعم! خاصية التوزيع تعمل مع الكسور:
مثال بالكسور:
التحقق:
الطرف الأيسر: $\frac{2}{3} \times \left(\frac{3+2}{12}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{12} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$
الطرف الأيمن: $\frac{2}{12} + \frac{2}{18} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3+2}{18} = \frac{5}{18}$ ✓
الفائدة: أحياناً التوزيع يسهل الحساب

لا! القسمة ليست تبديلية:
مثال مضاد:
$\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = 2$
$\frac{1}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{2}$
واضح أن: $2 \neq \frac{1}{2}$
المعنى: "كم نصف في ربع؟" ≠ "كم ربع في نصف؟"
تحذير: ترتيب الكسور في القسمة مهم جداً!
ملاحظة: الحالة الوحيدة التي تكون فيها $a \div b = b \div a$ هي عندما $a = b$

لا! القسمة ليست تجميعية:
مثال مضاد: $\frac{1}{2} \div \frac{1}{3} \div \frac{1}{4}$
من اليسار لليمين:
$\left(\frac{1}{2} \div \frac{1}{3}\right) \div \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \times 4 = 6$
من اليمين لليسار:
$\frac{1}{2} \div \left(\frac{1}{3} \div \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \div \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$
النتيجة: $6 \neq \frac{3}{8}$
القاعدة المهمة: في القسمة المتتالية، نعمل من اليسار إلى اليمين
استخدم الأقواس: لتوضيح المقصود تماماً

المشكلة: وصفة لـ4 أشخاص تحتاج $\frac{3}{4}$ كوب سكر. كم أحتاج لـ6 أشخاص؟
معامل التكبير: $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
الحساب:
عكسياً: لو أردت للـ3 أشخاص؟
معامل التصغير: $\frac{3}{4} = 0.75$
السكر المطلوب: $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ كوب
نصيحة: احفظ النسبة الأساسية لكل شخص: $\frac{3}{4} \div 4 = \frac{3}{16}$ كوب/شخص

المعطى: مستطيل طوله $\frac{5}{6}$ متر وعرضه $\frac{2}{3}$ متر
قانون المساحة: المساحة = الطول × العرض
التحويل للوحدات الأخرى:
بالسنتيمتر المربع: $\frac{5}{9} \times 10000 = \frac{50000}{9} = 5555\frac{5}{9}$ سم²
التحقق المنطقي: $\frac{5}{9} \approx 0.56$ متر²، وهو منطقي لمستطيل صغير
مثال عملي: قطعة قماش، بلاطة، قطعة أرض صغيرة

المعطيات:
• المسافة المقطوعة = $\frac{2}{3}$ من المسافة الكلية
• الزمن المستغرق = $\frac{3}{4}$ من الزمن المخطط
السرعة الحالية: $\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$
السرعة النسبية = $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$
المعنى: سرعتي الحالية = $\frac{8}{9}$ من السرعة المخططة
بالنسبة المئوية: $\frac{8}{9} \times 100\% = 88.89\%$
الاستنتاج: أنا أبطأ بـ$11.11\%$ من المخطط له
للوصول في الموعد: يجب زيادة السرعة لـ$\frac{1}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{4}{3}$ من السرعة المخططة

لنفترض السعر الأصلي = 1 (وحدة)
بعد الخصم الأول ($\frac{1}{4}$):
المتبقي = $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ من السعر الأصلي
الخصم الثاني ($\frac{1}{5}$ من المتبقي):
قيمة الخصم = $\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{20}$
السعر النهائي:
إذن السعر النهائي = $\frac{3}{5} = 60\%$ من السعر الأصلي
الخصم الإجمالي = $40\%$
مثال عددي: إذا كان السعر الأصلي 100 دينار، فالسعر النهائي 60 ديناراً

معدل العمل: $\frac{1}{6}$ من العمل في ساعة واحدة
المطلوب: الزمن لإنجاز $\frac{2}{3}$ من العمل
الطريقة: نقسم العمل المطلوب على معدل العمل
التحقق: في 4 ساعات ينجز $4 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ من العمل ✓
معلومة إضافية: لإنجاز العمل كاملاً يحتاج $1 \div \frac{1}{6} = 6$ ساعات
قاعدة عامة: إذا كان معدل العمل $\frac{a}{b}$، فالزمن الكلي = $\frac{b}{a}$ وحدة زمن

المقارنة: أيهما أكبر: $\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}$ أم $\frac{3}{4} \times \frac{4}{5}$؟
الطريقة التقليدية:
$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$ و $\frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
نقارن $\frac{10}{21}$ مع $\frac{3}{5}$: $10 \times 5 = 50$ و $21 \times 3 = 63$
لأن $50 < 63$، فإن $\frac{10}{21} < \frac{3}{5}$
الحيلة الذكية: نقارن $(2 \times 5) \times (4 \times 5)$ مع $(3 \times 7) \times (3 \times 4)$
$10 \times 20 = 200$ مقابل $21 \times 12 = 252$
النتيجة: $\frac{3}{4} \times \frac{4}{5} > \frac{2}{3} \times \frac{5}{7}$

الطريقة التدريجية:
$\frac{8}{9} \div \frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$
= $\left(\frac{8}{9} \div \frac{2}{3}\right) \div \frac{4}{5}$
= $\left(\frac{8}{9} \times \frac{3}{2}\right) \div \frac{4}{5}$
= $\frac{24}{18} \div \frac{4}{5} = \frac{4}{3} \div \frac{4}{5}$
= $\frac{4}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{3}$
الحيلة الذكية: نحول كل القسمة إلى ضرب من البداية
نبسط قبل الضرب: $\frac{8 \times 3 \times 5}{9 \times 2 \times 4} = \frac{120}{72} = \frac{5}{3}$

قاعدة الأولوية: الأقواس، الضرب والقسمة (من اليسار لليمين)، الجمع والطرح (من اليسار لليمين)
الحل خطوة بخطوة:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} - \frac{1}{4} \div \frac{1}{8}$
أولاً: الضرب والقسمة
$\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$
$\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \times 8 = 2$
التعبير يصبح: $\frac{1}{2} + \frac{2}{15} - 2$
ثانياً: الجمع والطرح من اليسار لليمين
$\frac{1}{2} + \frac{2}{15} = \frac{15 + 4}{30} = \frac{19}{30}$
$\frac{19}{30} - 2 = \frac{19}{30} - \frac{60}{30} = \frac{-41}{30} = -1\frac{11}{30}$

تحليل المقامات: 2, 6, 12, 20, ...
البحث عن النمط:
$2 = 1 \times 2$
$6 = 2 \times 3$
$12 = 3 \times 4$
$20 = 4 \times 5$
النمط المكتشف: $\frac{1}{n(n+1)}$ حيث $n = 1, 2, 3, 4, ...$
الحدود التالية:
$\frac{1}{5 \times 6} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{6 \times 7} = \frac{1}{42}$
خاصية مذهلة: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
إذن: $\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
المجموع الجزئي: $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$

الهدف: كتابة $\frac{5}{12}$ كمجموع كسور وحدة مختلفة
خوارزمية الطمع:
1. أكبر كسر وحدة أصغر من $\frac{5}{12}$: نحسب $\lceil \frac{12}{5} \rceil = \lceil 2.4 \rceil = 3$
إذن أكبر كسر وحدة أصغر من $\frac{5}{12}$ هو $\frac{1}{3}$
2. $\frac{5}{12} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12} - \frac{4}{12} = \frac{1}{12}$
3. $\frac{1}{12}$ هو كسر وحدة بالفعل!
التحقق: $\frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{4+1}{12} = \frac{5}{12}$ ✓
مثال أعقد: $\frac{7}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{120}$ (يتطلب خطوات أكثر)

تحليل النمط: الحد العام هو $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
إعادة كتابة السلسلة:
$\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + ... + \frac{1}{n(n+1)}$
= $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + ... + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$
السلسلة التليسكوبية: معظم الحدود تُلغي بعضها البعض
عند $n \to \infty$: المجموع = $\frac{1}{2}$
مثال عددي: أول 5 حدود تعطي $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

تعريف: الكسر المستمر هو تعبير من الشكل $a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots}}}$
مثال: لنحول $\frac{22}{7}$ لكسر مستمر
$\frac{22}{7} = 3 + \frac{1}{7} = 3 + \frac{1}{\frac{7}{1}} = 3 + \frac{1}{7}$
خوارزمية إقليدس:
$22 = 3 \times 7 + 1$
$7 = 7 \times 1 + 0$
مثال أعقد: $\frac{355}{113} = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1}}}$
الفائدة: الكسور المستمرة تعطي أفضل التقريبات النسبية للأعداد الحقيقية

المعادلة: $x \times \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$
الحل: نقسم الطرفين على $\frac{2}{3}$ (أو نضرب في مقلوبه)
التحقق: $\frac{5}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ ✓
المنطق: إذا ضرب العدد في $\frac{2}{3}$ أعطى $\frac{5}{6}$، فالعدد = $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$
قاعدة عامة: لحل $ax = b$، نجد $x = \frac{b}{a} = b \times \frac{1}{a}$

الفرض: نفترض العددان هما $2k$ و $3k$ لعدد موجب $k$
المعطى: حاصل ضربهما = $\frac{5}{6}$
المعادلة: $(2k) \times (3k) = \frac{5}{6}$
$6k^2 = \frac{5}{6}$
$k^2 = \frac{5}{6} \div 6 = \frac{5}{36}$
$k = \sqrt{\frac{5}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{6}$
العددان:
العدد الأول = $2k = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
العدد الثاني = $3k = \frac{3\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
التحقق: النسبة = $\frac{\sqrt{5}/3}{\sqrt{5}/2} = \frac{2}{3}$ ✓
والحاصل = $\frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{5}{6}$ ✓

المسألة: عددان موجبان مجموعهما $S$، متى يكون حاصل ضربهما أقصى ما يمكن؟
الفرض: العددان $x$ و $(S-x)$ حيث $0 < x < S$
دالة الهدف: $P = x(S-x) = Sx - x^2$
إيجاد الأقصى: نأخذ المشتقة ونساويها بالصفر
$\frac{dP}{dx} = S - 2x = 0$
$x = \frac{S}{2}$
النتيجة: حاصل الضرب أقصى عندما يكون العددان متساويين
مثال: إذا كان المجموع 6، فأقصى حاصل ضرب = $(3)(3) = 9$
أما لو كانا 2 و 4، فحاصل الضرب = 8 < 9

المعادلة: $\frac{x+1}{x-1} \times \frac{x-2}{x+2} = \frac{1}{2}$
التبسيط: $\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{2}$
فك الأقواس في البسط: $(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$
فك الأقواس في المقام: $(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$
المعادلة تصبح: $\frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x - 2} = \frac{1}{2}$
الضرب التبادلي: $2(x^2 - x - 2) = x^2 + x - 2$
$2x^2 - 2x - 4 = x^2 + x - 2$
$x^2 - 3x - 2 = 0$
الحل بالصيغة التربيعية:
التحقق من الشروط: $x \neq 1, -2$ (لتجنب القسمة على صفر)