📐 مبرهنة طالس وتطبيقاتها

ملخّص الدرس على شكل بطاقات — التاسعة أساسي

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها ورؤية القاعدة كاملة
1
القاعدة الأساسية
📐

مبرهنة طالس في المثلث

عندما يوازي مستقيم ضلعاً في مثلث، تنشأ نسب متساوية بين الأطوال.

👆 اضغط للقاعدة
1
القاعدة

في مثلث ABC، D على (AB) وE على (AC). إذا كان (DE)//(BC) فإنّ:

\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\)
⚠️ تحقّق دائماً من التوازي (DE)//(BC) قبل كتابة النسب. المقامان هما الضلعان الكاملان AB وAC.
2
حالة خاصة
➖

مستقيم المنتصفين

المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه.

👆 اضغط للقاعدة
2
القاعدة

إذا كان D منتصف [AB] وE منتصف [AC] فإنّ:

\((DE) \parallel (BC) \quad\text{et}\quad DE = \dfrac{1}{2}\,BC\)
💡 العكس مفيد: إذا كان D منتصفاً والمستقيم من D موازياً لـ(BC)، فإنّ E منتصف [AC].
3
تطبيق
🔷

طالس في شبه المنحرف

المستقيم المتوسط لشبه المنحرف يساوي متوسط القاعدتين.

👆 اضغط للقاعدة
3
القاعدة

ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و[CD]، I منتصف [AD]، J منتصف [BC]:

\((IJ) \parallel (AB) \quad\text{et}\quad IJ = \dfrac{AB + CD}{2}\)
⚠️ I وJ منتصفا الضلعين غير المتوازيين، وليس القاعدتين. ولا تنسَ القسمة على 2.
4
صيغة عامة
📏

طالس والمستقيمات المتوازية

مستقيمات متوازية تقطع مستقيمين، فتنشأ نسب متساوية بدون مثلث.

👆 اضغط للقاعدة
4
القاعدة

A وB وC على Δ، ونظيراتها A′ وB′ وC′ على Δ′ وفق مستقيمات متوازية:

\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'}\)
💡 لا حاجة لمثلث ظاهر. احترِم التناظر: A مع A′، B مع B′، C مع C′.
5
خاصية
↔️

مسقط منتصف قطعة

الإسقاط المتوازي يحافظ على المنتصف.

👆 اضغط للقاعدة
5
القاعدة

إذا كانت A′ وB′ مسقطي A وB، فإنّ مسقط منتصف [AB] هو منتصف [A′B′].

💡 تُستعمل لإثبات أنّ نقطة هي منتصف قطعة دون قياسها. الإسقاط يحافظ على المنتصف والنسبة، لا على الطول.
6
تطبيق
✂️

تجزئة قطعة مستقيم

تقسيم قطعة إلى أجزاء متقايسة أو متناسبة بالفرجار والمسطرة.

👆 اضغط للقاعدة
6
القاعدة

أجزاء متناسبة مع أعداد a وb وc: المجموع يصبح المقام المشترك:

\(\dfrac{AM}{a} = \dfrac{MN}{b} = \dfrac{NB}{c} = \dfrac{AB}{a+b+c}\)
⚠️ لا تنسَ جمع الأعداد في المقام (مع 1، 2، 3 → المقام 6).
7
قاعدة مهمة
📐

المثلث القائم والدائرة المحيطة

منتصف الوتر متساوي البعد عن الرؤوس الثلاثة.

👆 اضغط للقاعدة
7
القاعدة

ABC قائم الزاوية في A، I منتصف الوتر [BC]:

\(IA = IB = IC\)

مركز الدائرة المحيطة = منتصف الوتر، ونصف القطر = نصف الوتر.

💡 العكس صحيح: منتصف ضلع متساوي البعد عن الرؤوس ⟵ المثلث قائم ووتره ذلك الضلع.
8
قاعدة مهمة
⚖️

مركز ثقل المثلث

نقطة تلاقي الموسطات، عند ثلثي المسافة من الرأس.

👆 اضغط للقاعدة
8
القاعدة

G مركز الثقل، K منتصف [BC]:

\(AG = \dfrac{2}{3}\,AK \quad ، \quad GK = \dfrac{1}{3}\,AK\)
⚠️ 2/3 من الرأس، 1/3 من منتصف الضلع. لا تخلط بينهما حسب ما يُطلب.
📘 ملخّص مبرهنة طالس وتطبيقاتها — منهاج التاسعة أساسي