🧠 خريطة الدماغ التفاعلية

📌 التعريف

مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ هي مجموعة جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على المحور المدرج

تضم:

• الأعداد النسبية ℚ (الكسرية)
• الأعداد اللانسبية (الصماء)

💡 الرمز

نرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية بالحرف ℝ (من الكلمة Real Numbers)

🔑 خاصية هامة

كل نقطة على المحور المدرج تمثل عدداً حقيقياً، وكل عدد حقيقي يمثل نقطة على المحور

📌 التسلسل الهرمي

• ℕ: الأعداد الطبيعية

• ℤ: الأعداد الصحيحة النسبية

• ℚ: الأعداد الكسرية (النسبية)

• ℝ: الأعداد الحقيقية

📌 ℝ⁺: الأعداد الحقيقية الموجبة

الأعداد الحقيقية الموجبة أو المعدومة

📌 ℝ⁻: الأعداد الحقيقية السالبة

الأعداد الحقيقية السالبة أو المعدومة

📌 ℝ*: الأعداد الحقيقية غير المعدومة

📌 التعريف

العدد الأصم هو عدد حقيقي لا يمكن كتابته على شكل كسر $\frac{a}{b}$ حيث $a, b \in \mathbb{Z}$ و $b \neq 0$

الأعداد الصماء = الأعداد الحقيقية - الأعداد النسبية

🔢 خصائص الأعداد الصماء

• لا يمكن كتابتها على شكل كسر
• كتابتها العشرية غير منتهية وغير دورية
• توجد بين كل عددين نسبيين أعداد صماء

⚠️ تنبيه

ليس كل جذر تربيعي عدداً أصماً!

📌 التعريف

الجذر التربيعي لعدد موجب $a$ هو العدد الموجب $x$ الذي مربعه يساوي $a$

⚠️ شروط الوجود

• $\sqrt{a}$ موجود إذا وفقط إذا $a \geq 0$
• $\sqrt{a} \geq 0$ دائماً (نأخذ الجذر الموجب)
• $\sqrt{a}$ غير معرّف إذا $a < 0$

🔢 خصائص الجذر التربيعي

📌 أنواع الكتابات العشرية

كل عدد حقيقي له كتابة عشرية من أحد الأنواع التالية:

1️⃣ كتابة عشرية منتهية

عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة

✅ هذه أعداد نسبية (يمكن كتابتها على شكل كسر)

2️⃣ كتابة عشرية غير منتهية دورية

أرقام لا تنتهي لكنها تتكرر بشكل دوري

✅ هذه أعداد نسبية

3️⃣ كتابة عشرية غير منتهية وغير دورية

أرقام لا تنتهي ولا تتكرر بشكل دوري

❌ هذه أعداد صماء (لا يمكن كتابتها على شكل كسر)

💡 قاعدة التمييز

📌 التعريف

القيمة المطلقة لعدد حقيقي $x$ هي المسافة بين $x$ والصفر على المحور

🔢 خصائص

• $|x| \geq 0$ دائماً
• $|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
• $|x| = |-x|$
• $|xy| = |x| \times |y|$
• $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$ حيث $y \neq 0$

📏 المسافة بين عددين

📌 خاصية أساسية

كل نقطة على المحور المدرج تمثل عدداً حقيقياً بشكل وحيد

وكل عدد حقيقي يمثل نقطة وحيدة على المحور

🔢 وضع الأعداد على المحور

الأعداد الصحيحة: نقاط محددة

الأعداد الكسرية: نقسم الوحدة حسب المقام

الأعداد الصماء: نستخدم التقريب أو البناء الهندسي

💡 كثافة ℚ و ℐ في ℝ

• بين كل عددين حقيقيين يوجد عدد نسبي

• بين كل عددين حقيقيين يوجد عدد أصم

• بين أي عددين مهما كانا قريبين، توجد أعداد لا نهائية!

📌 الترتيب في ℝ

مجموعة ℝ مرتبة ترتيباً تاماً:

• لكل عددين $a$ و $b$، واحدة من هذه صحيحة: $a < b$ أو $a = b$ أو $a > b$
• إذا كان $a < b$ و $b < c$، فإن $a < c$ (التعدية)

🔢 مقارنة الأعداد الحقيقية

1. استخدام الكتابة العشرية:

2. استخدام التربيع:

لمقارنة عددين موجبين، يمكن مقارنة مربعيهما

💡 خصائص الترتيب

إذا كان $a < b$:

• $a + c < b + c$ لكل $c \in \mathbb{R}$
• إذا $c > 0$: $ac < bc$
• إذا $c < 0$: $ac > bc$ (انعكاس المتراجحة)