مجموعة الأعداد الكسرية ℚ
مجموعة الأعداد الكسرية (النسبية) ℚ هي مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر:
حيث $a$ هو البسط و $b$ هو المقام
نرمز لمجموعة الأعداد الكسرية بالحرف ℚ (من الكلمة الإيطالية Quoziente وتعني "خارج القسمة")
• $\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}$
• $\frac{-7}{5} \in \mathbb{Q}$
• $5 = \frac{5}{1} \in \mathbb{Q}$ (كل عدد صحيح هو كسر)
• $0.5 = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$
• $-2 = \frac{-2}{1} \in \mathbb{Q}$
المقام لا يمكن أن يكون صفراً: $\frac{a}{0}$ غير معرّف!
• كل عدد طبيعي هو عدد صحيح نسبي
• كل عدد صحيح نسبي هو عدد كسري
الأعداد الكسرية الأكبر من 0
الأعداد الكسرية الأصغر من 0
جميع الأعداد الكسرية ما عدا الصفر
• $\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}^+$
• $\frac{-5}{7} \in \mathbb{Q}^-$
• $5 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$
تبسيط كسر يعني قسمة البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر (PGCD)
1. نحسب PGCD(البسط، المقام)
2. نقسم البسط والمقام على PGCD
تبسيط $\frac{12}{18}$
الحل:
PGCD$(12, 18) = 6$
$$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$$
تبسيط $\frac{24}{36}$
الحل:
PGCD$(24, 36) = 12$
$$\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$$
كسر غير قابل للاختزال عندما: PGCD(البسط، المقام) = 1
$\frac{3}{5}$ غير قابل للاختزال لأن PGCD$(3, 5) = 1$
لمقارنة أو جمع أو طرح كسرين، نحتاج إلى نفس المقام
1. نحسب PPCM(المقام الأول، المقام الثاني)
2. نضرب البسط والمقام في العدد المناسب
اختزال $\frac{2}{3}$ و $\frac{3}{4}$ إلى نفس المقام
الحل:
PPCM$(3, 4) = 12$
$$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$$
$$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$$
اختزال $\frac{1}{6}$ و $\frac{2}{9}$
الحل:
PPCM$(6, 9) = 18$
$$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18}$$
$$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{4}{18}$$
إذا كان للكسرين نفس المقام، نقارن البسطين
$\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$ لأن $3 < 5$
نختزل الكسرين إلى نفس المقام ثم نقارن البسطين
مقارنة $\frac{2}{3}$ و $\frac{3}{4}$
الاختزال: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ و $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
النتيجة: $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ لأن $8 < 9$
لمقارنة $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$:
مقارنة $\frac{3}{5}$ و $\frac{4}{7}$
$3 \times 7 = 21$ و $5 \times 4 = 20$
$21 > 20$ إذن $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$
لوضع $\frac{a}{b}$ على المحور:
• نقسم المسافة بين 0 و 1 إلى 4 أجزاء
• نأخذ 3 أجزاء
$\frac{3}{4}$ من المسافة
مثلاً: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ (عدد كسري)
نضعه بعد 1 بمسافة $\frac{3}{4}$
الكسر العشري هو كسر مقامه قوة للعدد 10
• $\frac{3}{10} = 0.3$
• $\frac{7}{100} = 0.07$
• $\frac{25}{1000} = 0.025$
• $\frac{123}{100} = 1.23$
طريقة 1: تحويل المقام إلى قوة للعدد 10
$$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75$$
طريقة 2: القسمة المطولة
$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75$
• $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
• $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
كل كسر عشري هو عدد كسري، لكن ليس كل عدد كسري هو كسر عشري!
$\frac{1}{3} = 0.333...$ (ليس عدداً عشرياً منتهياً)
نفس المقام:
$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$
$\frac{8}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$
مقامان مختلفان:
نختزل إلى نفس المقام أولاً
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
نضرب البسط في البسط والمقام في المقام
$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$
$\frac{3}{7} \times \frac{-2}{5} = \frac{-6}{35}$
قسمة على كسر = ضرب في مقلوبه
$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$
$\frac{7}{8} \div \frac{3}{4} = \frac{7}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6}$
نفس قواعد ℤ: