🔢 مراجعة: الأعداد الصحيحة النسبية ℤ

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

📚

تعريف مجموعة ℤ

اضغط للكشف عن التعريف والأمثلة

📚 تعريف مجموعة ℤ

📌 التعريف

مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية ℤ تضمّ:

  • الأعداد الصحيحة الموجبة: \(1, 2, 3, 4, \ldots\)
  • الصفر: \(0\)
  • الأعداد الصحيحة السالبة: \(-1, -2, -3, -4, \ldots\)
\[\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\]

💡 الرمز

نرمز لها بالحرف ℤ (من الكلمة الألمانية Zahlen وتعني "أعداد").

✨ أمثلة

• \(5 \in \mathbb{Z}\) ، \(-7 \in \mathbb{Z}\) ، \(0 \in \mathbb{Z}\)

• \(2.5 \notin \mathbb{Z}\)

📦

المجموعات الجزئية

ℕ و ℕ* و ℤ⁺ و ℤ⁻

📦 المجموعات الجزئية

📌 ℕ و ℕ*

\[\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\]
\[\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \ldots\}\]

ℕ* هي ℕ بدون الصفر.

📌 ℤ⁺ و ℤ⁻

\[\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \ldots\} \quad (=\mathbb{N}^*)\]
\[\mathbb{Z}^- = \{\ldots, -3, -2, -1\}\]

🔗 العلاقة بينها

\[\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\]
↔️

الأعداد المتقابلة

عددان مجموعهما صفر

↔️ الأعداد المتقابلة

📌 التعريف

عددان متقابلان هما عددان مجموعهما يساوي صفراً:

\[a + (-a) = 0\]

💡 الخصائص

  • متقابل عدد موجب عدد سالب، والعكس بالعكس
  • الصفر متقابل لنفسه: \(-0 = 0\)
  • \(-(-a) = a\)

✨ أمثلة

• متقابل \(5\) هو \(-5\) لأنّ \(5 + (-5) = 0\)

• متقابل \(-7\) هو \(7\)

• \(-(-3) = 3\)

📐

القيمة المطلقة |x|

المسافة إلى الصفر

📐 القيمة المطلقة

📌 التعريف

القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر على المحور:

\[|a| = \begin{cases} a & \text{إذا } a \geq 0 \\ -a & \text{إذا } a < 0 \end{cases}\]

💡 الخصائص

  • \(|a| \geq 0\) دائماً
  • \(|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0\)
  • \(|-a| = |a|\)

✨ أمثلة

• \(|5| = 5\) ، \(|-7| = 7\) ، \(|0| = 0\)

• المسافة بين \(-3\) و \(5\) : \(|5-(-3)| = |8| = 8\)

⚖️

المقارنة والترتيب

قواعد ترتيب الأعداد النسبية

⚖️ المقارنة والترتيب

📌 قواعد المقارنة

  • كل عدد موجب أكبر من الصفر، وكل عدد سالب أصغر منه
  • كل عدد موجب أكبر من أي عدد سالب
  • من بين عددين سالبين، الأكبر هو ذو القيمة المطلقة الأصغر

✨ أمثلة

• \(7 > -10\) ، \(-2 > -5\) (لأنّ \(|-2| < |-5|\))

📊 الترتيب والخصائص

\[\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots\]

إذا كان \(a < b\) : فإنّ \(a+c < b+c\) ؛ والضرب في عدد سالب يعكس المتراجحة.

📏

المحور المدرج

تمثيل الأعداد على مستقيم

📏 المحور المدرج

📌 التعريف

المحور المدرج تمثيل هندسي للأعداد الصحيحة النسبية على مستقيم.

🔢 عناصر المحور

  • الأصل O : النقطة التي تمثّل الصفر
  • وحدة الطول : المسافة بين عددين متتاليين
  • الاتجاه : نحو اليمين للموجب، نحو اليسار للسالب
➕

العمليات في ℤ

الجمع والطرح وقواعد الإشارات

➕➖ العمليات في ℤ

📌 الجمع

نفس الإشارة: نجمع القيمتين المطلقتين ونحتفظ بالإشارة.

\((+5)+(+3)=+8\) ، \((-7)+(-2)=-9\)

إشارتان مختلفتان: نطرح القيمتين ونأخذ إشارة الأكبر قيمةً مطلقةً.

\((+8)+(-3)=+5\) ، \((-10)+(+4)=-6\)

📌 الطرح

\[a - b = a + (-b)\]

\(5-8 = 5+(-8) = -3\) ، \(6-(-4) = 6+4 = 10\)

💡 قواعد الإشارات

\[(+)(+)=(+),\ (-)(-)=(+),\ (+)(-)=(-)\]

إشارتان متشابهتان ← موجب ؛ إشارتان مختلفتان ← سالب.

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها