📏
قواعد القابلية للقسمة
القابلية للقسمة على 3
عدد قابل للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 3
مثال: \(246\)
\(2 + 4 + 6 = 12\)
\(12\) قابل للقسمة على \(3\) ✓
إذن \(246\) قابل للقسمة على \(3\)
\(2 + 4 + 6 = 12\)
\(12\) قابل للقسمة على \(3\) ✓
إذن \(246\) قابل للقسمة على \(3\)
القابلية للقسمة على 5
عدد قابل للقسمة على 5 إذا كان رقم آحاده هو 0 أو 5
أمثلة:
\(345\) → آحاده \(5\) ✓
\(720\) → آحاده \(0\) ✓
\(123\) → آحاده \(3\) ✗
\(345\) → آحاده \(5\) ✓
\(720\) → آحاده \(0\) ✓
\(123\) → آحاده \(3\) ✗
القابلية للقسمة على 4
عدد قابل للقسمة على 4 إذا كان العدد المكون من رقمي آحاده وعشراته قابلاً للقسمة على 4
مثال: \(5724\)
ننظر إلى \(24\)
\(24 \div 4 = 6\) ✓
إذن \(5724\) قابل للقسمة على \(4\)
ننظر إلى \(24\)
\(24 \div 4 = 6\) ✓
إذن \(5724\) قابل للقسمة على \(4\)
القابلية للقسمة على 9
عدد قابل للقسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 9
مثال: \(5832\)
\(5 + 8 + 3 + 2 = 18\)
\(18\) قابل للقسمة على \(9\) ✓
إذن \(5832\) قابل للقسمة على \(9\)
\(5 + 8 + 3 + 2 = 18\)
\(18\) قابل للقسمة على \(9\) ✓
إذن \(5832\) قابل للقسمة على \(9\)
القابلية للقسمة على 25
عدد قابل للقسمة على 25 إذا كان العدد المكون من رقمي آحاده وعشراته قابلاً للقسمة على 25
أمثلة:
\(4375\) → ننظر إلى \(75\)
\(75 \div 25 = 3\) ✓
\(2600\) → ننظر إلى \(00\) ✓
\(3850\) → ننظر إلى \(50\)
\(50 \div 25 = 2\) ✓
\(4375\) → ننظر إلى \(75\)
\(75 \div 25 = 3\) ✓
\(2600\) → ننظر إلى \(00\) ✓
\(3850\) → ننظر إلى \(50\)
\(50 \div 25 = 2\) ✓
ملاحظة هامة: القابلية للقسمة على 2 يعني أن الرقم زوجي (آحاده: 0، 2، 4، 6، 8) والقابلية للقسمة على 10 يعني أن آحاده 0
🌳
شجرة تحليل عدد إلى جداء عوامله الأولية
مثال: تحليل العدد 360
360
↙ ↘
2
180
↙ ↘
2
90
↙ ↘
2
45
↙ ↘
3
15
↙ ↘
3
5
النتيجة:
\(360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\)
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
\(360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\)
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
مثال آخر: تحليل العدد 504
504
↙ ↘
2
252
↙ ↘
2
126
↙ ↘
2
63
↙ ↘
3
21
↙ ↘
3
7
النتيجة:
\(504 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7\)
\(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
\(504 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7\)
\(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
⭐
الأعداد الأولية
تعريف: العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وله قاسمان فقط هما 1 والعدد نفسه
الأعداد الأولية الأصغر من 100
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
ملاحظات هامة:
• العدد 1 ليس عدداً أولياً
• العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد
• كل عدد أولي (ما عدا 2 و 5) آحاده هو 1 أو 3 أو 7 أو 9
• العدد 1 ليس عدداً أولياً
• العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد
• كل عدد أولي (ما عدا 2 و 5) آحاده هو 1 أو 3 أو 7 أو 9
🎯
مجموعة قواسم عدد طبيعي
مثال 1: إيجاد قواسم العدد 36
الخطوة 1: نحلل العدد 36
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
الخطوة 2: نستعمل جدول فيثاغورس
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
الخطوة 2: نستعمل جدول فيثاغورس
| × | \(3^0 = 1\) | \(3^1 = 3\) | \(3^2 = 9\) |
|---|---|---|---|
| \(2^0 = 1\) | 1 | 3 | 9 |
| \(2^1 = 2\) | 2 | 6 | 18 |
| \(2^2 = 4\) | 4 | 12 | 36 |
مجموعة قواسم 36:
\(\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36\}\)
\(\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36\}\)
مثال 2: إيجاد قواسم العدد 60
الخطوة 1: نحلل العدد 60
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
الخطوة 2: نستعمل جدول فيثاغورس المركب
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
الخطوة 2: نستعمل جدول فيثاغورس المركب
| × | 1 | 3 | 5 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 | 5 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 10 | 30 |
| 4 | 4 | 12 | 20 | 60 |
مجموعة قواسم 60:
\(\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60\}\)
\(\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60\}\)
عدد القواسم: إذا كان \(n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}\)
فإن عدد قواسمه = \((a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_k + 1)\)
فإن عدد قواسمه = \((a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_k + 1)\)
🔝
القاسم المشترك الأكبر PGCD
تعريف: القاسم المشترك الأكبر لعددين هو أكبر عدد يقسم كلا العددين معاً
الطريقة 1: باستعمال التحليل إلى جداء عوامل أولية
مثال: نحسب \(PGCD(360, 504)\)
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
\(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
\(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس
\(PGCD(360, 504) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\)
الطريقة 2: خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية)
مثال: نحسب \(PGCD(360, 504)\)
\(504 = 360 \times 1 + 144\)
\(360 = 144 \times 2 + 72\)
\(144 = 72 \times 2 + 0\)
آخر باقٍ غير معدوم هو \(72\)
\(360 = 144 \times 2 + 72\)
\(144 = 72 \times 2 + 0\)
آخر باقٍ غير معدوم هو \(72\)
\(PGCD(360, 504) = 72\)
خاصيات هامة:
• \(PGCD(a, b) = PGCD(b, a)\)
• \(PGCD(a, 0) = a\)
• إذا كان \(PGCD(a, b) = 1\) فإن \(a\) و \(b\) أوليان فيما بينهما
• \(PGCD(ka, kb) = k \times PGCD(a, b)\)
• \(PGCD(a, b) = PGCD(b, a)\)
• \(PGCD(a, 0) = a\)
• إذا كان \(PGCD(a, b) = 1\) فإن \(a\) و \(b\) أوليان فيما بينهما
• \(PGCD(ka, kb) = k \times PGCD(a, b)\)
🔻
المضاعف المشترك الأصغر PPCM
تعريف: المضاعف المشترك الأصغر لعددين هو أصغر عدد (غير معدوم) يقبل القسمة على كلا العددين
الطريقة 1: باستعمال التحليل إلى جداء عوامل أولية
مثال: نحسب \(PPCM(360, 504)\)
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
\(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
\(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
نأخذ كل العوامل بأكبر أس
\(PPCM(360, 504) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7\)
\(= 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520\)
\(= 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520\)
الطريقة 2: باستعمال العلاقة مع PGCD
العلاقة الذهبية
\(PGCD(a, b) \times PPCM(a, b) = a \times b\)
نعلم أن: \(PGCD(360, 504) = 72\)
\(PPCM(360, 504) = \dfrac{360 \times 504}{72}\)
\(= \dfrac{181440}{72} = 2520\)
\(= \dfrac{181440}{72} = 2520\)
خاصيات هامة:
• \(PPCM(a, b) = PPCM(b, a)\)
• \(PPCM(a, 1) = a\)
• إذا كان \(a\) يقسم \(b\) فإن \(PPCM(a, b) = b\)
• إذا كان \(PGCD(a, b) = 1\) فإن \(PPCM(a, b) = a \times b\)
• \(PPCM(a, b) = PPCM(b, a)\)
• \(PPCM(a, 1) = a\)
• إذا كان \(a\) يقسم \(b\) فإن \(PPCM(a, b) = b\)
• إذا كان \(PGCD(a, b) = 1\) فإن \(PPCM(a, b) = a \times b\)
📚
ملخص القوانين والعلاقات الهامة
العلاقات الأساسية
1) \(PGCD(a, b) \times PPCM(a, b) = a \times b\)
2) \(PGCD(a, b)\) يقسم \(a\) و \(b\)
3) \(a\) و \(b\) يقسمان \(PPCM(a, b)\)
4) عدد قواسم \(n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}\) هو:
\((a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_k + 1)\)
\((a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_k + 1)\)
حالات خاصة
• إذا كان \(PGCD(a, b) = 1\) (أوليان فيما بينهما):
\(PPCM(a, b) = a \times b\)
\(PPCM(a, b) = a \times b\)
• إذا كان \(a\) يقسم \(b\):
\(PGCD(a, b) = a\) و \(PPCM(a, b) = b\)
\(PGCD(a, b) = a\) و \(PPCM(a, b) = b\)