📐 مراجعة: مبرهنة طاليس 📐

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

📚

مبرهنة طاليس المباشرة

اضغط للكشف عن المبرهنة

مبرهنة طاليس

📌 الوضعية

في مثلث \(ABC\):
• \(M\) نقطة من \((AB)\)
• \(N\) نقطة من \((AC)\)
• \((MN) \parallel (BC)\)

🔢 المبرهنة

\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)

💡 كتابة أخرى

\(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}\)
بالكلمات:
إذا كان مستقيم موازياً لأحد أضلاع مثلث، فإنه يقسم الضلعين الآخرين إلى قطع متناسبة
🔄

مقلوب مبرهنة طاليس

اضغط للكشف عن المقلوب

مقلوب مبرهنة طاليس

📌 الوضعية

في مثلث \(ABC\):
• \(M\) نقطة من \((AB)\)
• \(N\) نقطة من \((AC)\)

🔢 المبرهنة

إذا كان: \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\)

فإن: \((MN) \parallel (BC)\)

💡 كتابة أخرى

إذا كان: \(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}\)

فإن: \((MN) \parallel (BC)\)
الاستخدام:
نستخدم المقلوب لإثبات أن مستقيمين متوازيان
📏

التطبيق: حساب الأطوال

اضغط للكشف عن التطبيق

حساب الأطوال

مثال 1:
في مثلث \(ABC\): \((MN) \parallel (BC)\)
\(AM = 3cm\), \(AB = 9cm\), \(AC = 12cm\)
احسب \(AN\)

الحل:
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\)

\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{AN}{12}\)

\(AN = \dfrac{3 \times 12}{9} = \dfrac{36}{9} = 4cm\)
مثال 2:
\((MN) \parallel (BC)\)
\(AM = 4cm\), \(AB = 10cm\), \(BC = 15cm\)
احسب \(MN\)

الحل:
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\)

\(\dfrac{4}{10} = \dfrac{MN}{15}\)

\(MN = \dfrac{4 \times 15}{10} = \dfrac{60}{10} = 6cm\)
✅

التطبيق: إثبات التوازي

اضغط للكشف عن التطبيق

إثبات التوازي

مثال 1:
في مثلث \(ABC\):
\(AM = 6cm\), \(AB = 15cm\)
\(AN = 4cm\), \(AC = 10cm\)
هل \((MN) \parallel (BC)\)؟

الحل:
نحسب: \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\)

نحسب: \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)

\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\)
إذن: \((MN) \parallel (BC)\) ✓
مثال 2:
\(AM = 3cm\), \(MB = 6cm\)
\(AN = 2cm\), \(NC = 4cm\)
هل \((MN) \parallel (BC)\)؟

الحل:
\(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{AN}{NC} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)

النسبتان متساويتان، إذن \((MN) \parallel (BC)\) ✓
🔍

التكبير والتصغير

اضغط للكشف عن الخاصية

التكبير والتصغير

📌 معامل التكبير

إذا كان \((MN) \parallel (BC)\)، فإن:

معامل التكبير \(k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{BC}{MN}\)
مثال:
إذا كان \(\dfrac{AB}{AM} = 3\)
فهذا يعني أن:
• المثلث \(ABC\) هو تكبير للمثلث \(AMN\) بمعامل 3
• جميع أطوال \(ABC\) هي 3 أضعاف أطوال \(AMN\)

💡 نتيجة

• محيط \(ABC = k \times\) محيط \(AMN\)
• مساحة \(ABC = k^2 \times\) مساحة \(AMN\)

🔺

المثلثات المتشابهة

اضغط للكشف عن الخاصية

المثلثات المتشابهة

📌 التعريف

إذا كان \((MN) \parallel (BC)\) في مثلث \(ABC\)، فإن المثلثين \(AMN\) و \(ABC\) متشابهان

🔢 الخصائص

المثلثان المتشابهان لهما:
• نفس الزوايا:
\(\widehat{A}\) مشتركة
\(\widehat{AMN} = \widehat{ABC}\) (متناظرتان)
\(\widehat{ANM} = \widehat{ACB}\) (متناظرتان)

• أضلاع متناسبة:
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)

الفرق:
• المثلثات المتطابقة: نفس الأطوال والزوايا
• المثلثات المتشابهة: نفس الزوايا، أطوال متناسبة
🎯

حالة: التقاطع من نقطة

اضغط للكشف عن الحالة

حالة التقاطع من نقطة

📌 الوضعية

مستقيمان \((d_1)\) و \((d_2)\) يتقاطعان في \(A\)
مستقيمان \((BC)\) و \((DE)\) متوازيان
\(B, D \in (d_1)\) و \(C, E \in (d_2)\)

🔢 النتيجة

\(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}\)
مثال:
\((BC) \parallel (DE)\)
\(AB = 4cm\), \(AD = 10cm\), \(BC = 6cm\)
احسب \(DE\)

الحل:
\(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}\)

\(\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{DE}\)

\(DE = \dfrac{10 \times 6}{4} = 15cm\)
⚠️

أخطاء يجب تجنبها

اضغط للكشف عن الأخطاء

أخطاء شائعة

❌ خطأ 1: النسب الخاطئة

خطأ: \(\dfrac{AM}{AN} = \dfrac{AB}{AC}\)
صحيح: \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\)

❌ خطأ 2: عدم التحقق من التوازي

قبل استخدام مبرهنة طاليس، يجب التأكد من أن المستقيمين متوازيان!

❌ خطأ 3: النقاط غير متراصفة

النقاط \(A, M, B\) يجب أن تكون متراصفة (على نفس المستقيم)

❌ خطأ 4: عدم تبسيط الكسور

دائماً بسّط الكسور للتحقق من تساوي النسب:
\(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\) و \(\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\)

✍️

تمارين متنوعة

اضغط للكشف عن التمارين

تمارين تطبيقية

تمرين 1:
\((MN) \parallel (BC)\)
\(AM = 5cm\), \(MB = 10cm\), \(AN = 3cm\)
احسب \(AC\)

الحل:
\(AB = AM + MB = 15cm\)
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\)
\(\dfrac{5}{15} = \dfrac{3}{AC}\)
\(AC = \dfrac{3 \times 15}{5} = 9cm\) ✓
تمرين 2:
\(AM = 7cm\), \(AB = 21cm\)
\(AN = 5cm\), \(AC = 14cm\)
هل \((MN) \parallel (BC)\)؟

الحل:
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{5}{14}\)
\(\dfrac{1}{3} \neq \dfrac{5}{14}\)
إذن \((MN)\) ليس موازياً لـ \((BC)\) ✗
📋

خلاصة وملخص

اضغط للكشف عن الملخص

خلاصة مبرهنة طاليس

🔹 المبرهنة المباشرة

\((MN) \parallel (BC)\)
⬇️
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)

🔹 المقلوب

\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\)
⬇️
\((MN) \parallel (BC)\)

🔹 الاستخدامات

• حساب أطوال مجهولة
• إثبات توازي مستقيمين
• التشابه والتكبير
• حل مسائل هندسية معقدة

🔹 نصيحة

رسم شكل واضح يساعد كثيراً في تطبيق المبرهنة بشكل صحيح!

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها