⚖️ مراجعة: الترتيب والمقارنة في ℝ ⚖️

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

➕

الترتيب والجمع

اضغط للكشف عن القاعدة

الترتيب والجمع في ℝ

📏 القاعدة

إضافة عدد إلى الطرفين لا تغيّر اتّجاه المتراجحة.

\[a \leq b \;\Longleftrightarrow\; a+c \leq b+c\]

وهذا صحيح مهما كانت إشارة \(c\).

أمثلة:

• \(3 \leq 7 \;\Rightarrow\; 3+5 \leq 7+5\)
• \(3 \leq 7 \;\Rightarrow\; 3-10 \leq 7-10\)
• \(\sqrt{2} \leq \sqrt{3} \;\Rightarrow\; \sqrt{2}+\pi \leq \sqrt{3}+\pi\)

💡 الاستعمال

هي التي تسمح بـ«نقل» حدّ من طرف إلى آخر في متراجحة، تماماً كما في المعادلة.

✖️

الترتيب والضرب

اضغط للكشف عن الحالتين

الترتيب والضرب في ℝ

📏 الحالة الأولى — \(c\) موجب قطعاً

الضرب في عدد موجب يحافظ على الاتّجاه.

\[a \leq b \;\Longleftrightarrow\; ac \leq bc \qquad (c > 0)\]

🔴 الحالة الثانية — \(c\) سالب قطعاً

الضرب في عدد سالب يقلب الاتّجاه.

\[a \leq b \;\Longleftrightarrow\; ac \geq bc \qquad (c < 0)\]
أمثلة:

• \(2 \leq 5\) و \(3>0\)  →  \(6 \leq 15\)
• \(2 \leq 5\) و \(-3<0\)  →  \(-6 \geq -15\)
• \(a \leq b \;\Rightarrow\; -\dfrac{5}{4}a \geq -\dfrac{5}{4}b\)

⚠️ الخطأ الأشهر في الفصل

نسيان قلب الرمز عند الضرب أو القسمة على عدد سالب. راقب إشارة المعامل قبل أن تكتب الرمز.

➖

المقارنة بالفرق

اضغط للكشف عن الطريقة

المقارنة بالفرق

🧭 الطريقة العامّة

لمقارنة \(a\) و \(b\)، نحسب الفرق \(a-b\) وندرس إشارته:

\(a-b > 0 \;\Rightarrow\; a > b\)
\(a-b < 0 \;\Rightarrow\; a < b\)
\(a-b = 0 \;\Rightarrow\; a = b\)

💡 لماذا هي الأقوى؟

لأنّها تعمل دائماً، حتّى حين تكون الأعداد غير قابلة للحساب بالفاصلة. إنّها الطريقة التي يُلجأ إليها عندما تفشل البقيّة.

مثال:

مقارنة \(a = -\sqrt{7}+9\) و \(b = -\sqrt{11}+9\)

\(a-b = -\sqrt{7}+\sqrt{11} = \sqrt{11}-\sqrt{7} > 0\)
لأنّ \(11 > 7\). إذن \(a > b\).
🔁

مقارنة المقلوبين

اضغط للكشف عن الشرط

مقارنة مقلوبي عددين

📏 القاعدة

إذا كان \(x\) و \(y\) مخالفين للصفر ولهما نفس العلامة:

\[x \leq y \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}\]

أخذ المقلوب يقلب الاتّجاه.

🔴 الشرط ليس تفصيلاً

«نفس العلامة» شرط أساسي. فـ \(-2 \leq 3\) لكنّ \(\dfrac{1}{-2} = -0{,}5\) و \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33\)، أي \(\dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{3}\) — الاتّجاه لم ينقلب، لأنّ العددين من علامتين مختلفتين.

أمثلة:

• \(2 < 7 \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{7}\)
• \(-9 < -3 \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{-9} > \dfrac{1}{-3}\)
²

مقارنة المربّعين

اضغط للكشف عن القاعدة

مقارنة مربّعي عددين حقيقيين

📏 القاعدة

\[x^{2} \leq y^{2} \;\Longleftrightarrow\; |x| \leq |y|\]

ما يقارن المربّعات هو القيمة المطلقة، لا العدد نفسه.

🔴 لماذا القيمة المطلقة؟

لأنّ التربيع يمحو الإشارة. فـ \(-5 < 2\) لكنّ \((-5)^{2} = 25 > 4 = 2^{2}\).
بالقيمة المطلقة: \(|-5| = 5 > 2 = |2|\) ✓

أمثلة:

• \(\dfrac{3}{4}\) و \(\dfrac{4}{5}\) موجبان و \(\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5}\)، إذن \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2} < \left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}\)
• \(\dfrac{-5}{6}\) و \(\dfrac{-7}{5}\) : \(\left|\dfrac{-5}{6}\right| < \left|\dfrac{-7}{5}\right|\)، إذن \(\left(\dfrac{-5}{6}\right)^{2} < \left(\dfrac{-7}{5}\right)^{2}\)
√

مقارنة الجذرين

اضغط للكشف عن القاعدة

مقارنة جذري عددين

📏 القاعدة

إذا كان \(x\) و \(y\) موجبين:

\[x \leq y \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{x} \leq \sqrt{y}\]

الجذر التربيعي يحافظ على الترتيب — على عكس المقلوب.

أمثلة:

• \(1089 < 1123 \;\Rightarrow\; \sqrt{1089} < \sqrt{1123}\)
• \(7 < 11 \;\Rightarrow\; \sqrt{7} < \sqrt{11}\)

💡 الحيلة المقابلة

لمقارنة \(3\sqrt{2}\) و \(2\sqrt{3}\)، نُربّع الطرفين (كلاهما موجب):
\((3\sqrt{2})^{2} = 18\) و \((2\sqrt{3})^{2} = 12\).
إذن \(3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}\).

📊

الترتيب التصاعدي والتنازلي

اضغط للكشف عن الطريقة

الترتيب التصاعدي والتنازلي

📌 التسمية

• تصاعدي: من الأصغر إلى الأكبر
• تنازلي: من الأكبر إلى الأصغر

🧭 الطريقة

① افصل السوالب عن الموجبات: كلّ سالب أصغر من كلّ موجب
② رتّب الموجبات فيما بينها
③ رتّب السوالب: كلّما كبرت القيمة المطلقة صغر العدد

مثال:

ترتيب \(-8\), \(-\sqrt{10}\), \(-4\sqrt{3}\), \(-2\sqrt{5}\) تصاعدياً

نقارن المربّعات: \(64\), \(10\), \(48\), \(20\)
الأكبر مربّعاً هو الأصغر (لأنّها كلّها سالبة) :
\(-8 < -4\sqrt{3} < -2\sqrt{5} < -\sqrt{10}\)
🔗

سلسلة المتراجحات

اضغط للكشف عن التركيب

تركيب المتراجحات

📏 الجمع طرفاً بطرف

\[a \leq b \;\text{و}\; c \leq d \;\Longrightarrow\; a+c \leq b+d\]

🔴 لا تطرح طرفاً بطرف

الطرح طرفاً بطرف غير صحيح. من \(2\leq5\) و \(1\leq4\) لا نستنتج \(2-1 \leq 5-4\)، لأنّ ذلك يعطي \(1 \leq 1\) صدفةً، بينما \(2\leq5\) و \(3\leq4\) يعطيان \(-1 \leq 1\)… جرّب دائماً.

📏 التعدّي

\[a \leq b \;\text{و}\; b \leq c \;\Longrightarrow\; a \leq c\]
تطبيق من الفصل:

من \(a \leq b\) نستنتج \(-\dfrac{4}{5}a \geq -\dfrac{4}{5}b\) (ضرب في سالب)، ثمّ نضيف إلى كلّ طرف ما يلزم.
π

مقارنة ناطق بأصمّ

اضغط للكشف عن الطريقة

مقارنة عدد ناطق بعدد أصمّ

🧭 الطريقة

لا نقارن عدداً ناطقاً بجذر أو بـ \(\pi\) بالحساب التقريبي، بل بالتربيع أو بحصر معلوم.

\(a\) و \(b\) موجبان :   \(a \leq b \;\Longleftrightarrow\; a^{2} \leq b^{2}\)
مقارنة \(\sqrt{7}\) و \(1{,}41\) :

\(\left(\sqrt{7}\right)^{2} = 7\)  و  \((1{,}41)^{2} = 1{,}9881\)
إذن \(\sqrt{7} > 1{,}41\).

💡 الحصر المعلوم لـ \(\pi\)

نعلم أنّ \(\pi < \dfrac{22}{7}\). هذا الحصر وحده يسمح بمقارنة عبارات فيها \(\pi\):

من \(\pi < \dfrac{22}{7}\) نستنتج \(\pi+\sqrt{2} < \dfrac{22}{7}+\sqrt{2}\) بإضافة العدد نفسه إلى الطرفين.

⚠️ لا تقرّب

الكتابة \(\pi \approx 3{,}14\) قيمة مقرّبة، لا تصلح لبرهان مقارنة. استعمل الحصر أو التربيع.

🚫

الأخطاء الشائعة

اضغط للكشف عن القائمة

الأخطاء الشائعة

🔴 الضرب في سالب

❌ \(a \leq b \;\Rightarrow\; -2a \leq -2b\)
✅ \(a \leq b \;\Rightarrow\; -2a \geq -2b\)

🔴 المقلوب دون شرط العلامة

القاعدة \(x \leq y \Rightarrow \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{y}\) تفترض أنّ العددين لهما نفس العلامة. بدون هذا الشرط لا شيء يُضمَن.

🔴 التربيع دون قيمة مطلقة

❌ \(x \leq y \;\Rightarrow\; x^{2} \leq y^{2}\)
✅ لا يصحّ إلاّ إذا كانا موجبين. وإلاّ، المقارنة تكون على \(|x|\) و \(|y|\).

✔️ الاختبار الذي يحسم

عند الشكّ، جرّب بعددين بسيطين، أحدهما سالب. مثال مضادّ واحد يكفي لإسقاط قاعدة خاطئة.