📊 مراجعة: المعلم في المستوى 📊

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

📚

تعريف المعلم

اضغط للكشف عن التعريف

المعلم في المستوى

📌 التعريف

المعلم المتعامد والمتجانس هو نظام يتكون من:
• نقطة الأصل \(O\)
• محور الفواصل (المحور الأفقي) ويرمز له بـ \((Ox)\)
• محور التراتيب (المحور العمودي) ويرمز له بـ \((Oy)\)

🔢 إحداثيات نقطة

كل نقطة \(M\) في المستوى تُعرّف بزوج مرتب \((x, y)\):

\(M(x, y)\)

• \(x\): الفاصلة (الإحداثي الأفقي)
• \(y\): التراتيبة (الإحداثي العمودي)

أمثلة:
\(A(3, 2)\): 3 وحدات يميناً، 2 وحدة للأعلى
\(B(-2, 4)\): 2 وحدة يساراً، 4 وحدات للأعلى
\(C(1, -3)\): 1 وحدة يميناً، 3 وحدات للأسفل
↔️

المستقيمات الموازية لـ \((Ox)\)

اضغط للكشف عن الخاصية

المستقيمات الموازية لمحور الفواصل

📌 الخاصية

المستقيم الموازي لمحور الفواصل \((Ox)\) له معادلة من الشكل:

\(y = k\)

حيث \(k\) عدد ثابت

💡 المعنى

جميع النقاط على هذا المستقيم لها نفس التراتيبة \(y = k\)

أمثلة:
• \(y = 3\): مستقيم أفقي يمر بالنقاط \((0, 3), (1, 3), (5, 3), ...\)
• \(y = -2\): مستقيم أفقي يمر بالنقاط \((0, -2), (3, -2), (-1, -2), ...\)
• \(y = 0\): هو محور الفواصل \((Ox)\) نفسه

🔍 التعرف

إذا كانت نقطتان \(A(x_A, y_A)\) و \(B(x_B, y_B)\) تحققان:
\(y_A = y_B\)
فإن \((AB) \parallel (Ox)\)

↕️

المستقيمات الموازية لـ \((Oy)\)

اضغط للكشف عن الخاصية

المستقيمات الموازية لمحور التراتيب

📌 الخاصية

المستقيم الموازي لمحور التراتيب \((Oy)\) له معادلة من الشكل:

\(x = k\)

حيث \(k\) عدد ثابت

💡 المعنى

جميع النقاط على هذا المستقيم لها نفس الفاصلة \(x = k\)

أمثلة:
• \(x = 2\): مستقيم عمودي يمر بالنقاط \((2, 0), (2, 1), (2, -3), ...\)
• \(x = -4\): مستقيم عمودي يمر بالنقاط \((-4, 0), (-4, 2), (-4, -1), ...\)
• \(x = 0\): هو محور التراتيب \((Oy)\) نفسه

🔍 التعرف

إذا كانت نقطتان \(A(x_A, y_A)\) و \(B(x_B, y_B)\) تحققان:
\(x_A = x_B\)
فإن \((AB) \parallel (Oy)\)

🔄

التناظر بالنسبة لـ \((Ox)\)

اضغط للكشف عن الخاصية

التناظر بالنسبة لمحور الفواصل

📌 الخاصية

إذا كانت \(M'\) مناظرة \(M\) بالنسبة لمحور الفواصل \((Ox)\):

إذا كان \(M(x, y)\)
فإن \(M'(x, -y)\)

💡 القاعدة

• الفاصلة تبقى نفسها
• التراتيبة تتغير إلى عكسها

أمثلة:
• \(A(3, 5)\) → \(A'(3, -5)\)
• \(B(-2, 4)\) → \(B'(-2, -4)\)
• \(C(1, -3)\) → \(C'(1, 3)\)
• \(D(0, 7)\) → \(D'(0, -7)\)

🔍 ملاحظة

النقاط الموجودة على محور \((Ox)\) تكون مناظرة لنفسها:
\(P(5, 0)\) → \(P'(5, 0)\)

🔃

التناظر بالنسبة لـ \((Oy)\)

اضغط للكشف عن الخاصية

التناظر بالنسبة لمحور التراتيب

📌 الخاصية

إذا كانت \(M'\) مناظرة \(M\) بالنسبة لمحور التراتيب \((Oy)\):

إذا كان \(M(x, y)\)
فإن \(M'(-x, y)\)

💡 القاعدة

• الفاصلة تتغير إلى عكسها
• التراتيبة تبقى نفسها

أمثلة:
• \(A(3, 5)\) → \(A'(-3, 5)\)
• \(B(-2, 4)\) → \(B'(2, 4)\)
• \(C(6, -1)\) → \(C'(-6, -1)\)
• \(D(4, 0)\) → \(D'(-4, 0)\)

🔍 ملاحظة

النقاط الموجودة على محور \((Oy)\) تكون مناظرة لنفسها:
\(P(0, 5)\) → \(P'(0, 5)\)

⭕

التناظر بالنسبة للأصل \(O\)

اضغط للكشف عن الخاصية

التناظر المركزي بالنسبة للأصل

📌 الخاصية

إذا كانت \(M'\) مناظرة \(M\) بالنسبة لنقطة الأصل \(O\):

إذا كان \(M(x, y)\)
فإن \(M'(-x, -y)\)

💡 القاعدة

• الفاصلة تتغير إلى عكسها
• التراتيبة تتغير إلى عكسها

أمثلة:
• \(A(3, 5)\) → \(A'(-3, -5)\)
• \(B(-2, 4)\) → \(B'(2, -4)\)
• \(C(1, -3)\) → \(C'(-1, 3)\)
• \(D(-4, -2)\) → \(D'(4, 2)\)

🔍 ملاحظة

نقطة الأصل \(O(0, 0)\) هي مناظرة لنفسها:
\(O(0, 0)\) → \(O'(0, 0)\)

📍

إحداثيات منتصف قطعة

اضغط للكشف عن الصيغة

إحداثيات منتصف قطعة

📌 الصيغة

إذا كان \(I\) منتصف القطعة \([AB]\) حيث:
\(A(x_A, y_A)\) و \(B(x_B, y_B)\)

\(I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\)

💡 القاعدة

• فاصلة المنتصف = المتوسط الحسابي للفواصل
• تراتيبة المنتصف = المتوسط الحسابي للتراتيب

مثال 1:
\(A(2, 6)\) و \(B(8, 4)\)
\(I\left(\dfrac{2+8}{2}, \dfrac{6+4}{2}\right)\)
\(I(5, 5)\)
مثال 2:
\(A(-3, 1)\) و \(B(5, -7)\)
\(I\left(\dfrac{-3+5}{2}, \dfrac{1+(-7)}{2}\right)\)
\(I(1, -3)\)
📏

المسافة بين نقطتين

اضغط للكشف عن الصيغة

المسافة بين نقطتين

📌 الصيغة العامة

المسافة بين \(A(x_A, y_A)\) و \(B(x_B, y_B)\):

\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)

🔹 حالات خاصة

1. إذا كان \((AB) \parallel (Ox)\) (أي \(y_A = y_B\)):

\(AB = |x_B - x_A|\)

2. إذا كان \((AB) \parallel (Oy)\) (أي \(x_A = x_B\)):

\(AB = |y_B - y_A|\)
مثال عام:
\(A(1, 2)\) و \(B(5, 5)\)
\(AB = \sqrt{(5-1)^2 + (5-2)^2}\)
\(AB = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
مثال أفقي:
\(A(2, 3)\) و \(B(7, 3)\)
\(AB = |7 - 2| = 5\)
✍️

تطبيقات متنوعة

اضغط للكشف عن التطبيقات

تطبيقات في المعلم

تطبيق 1: التوازي
\(A(1, 3)\), \(B(5, 3)\), \(C(2, 7)\), \(D(6, 7)\)
هل \((AB) \parallel (CD)\)؟

الحل:
\(y_A = y_B = 3\) و \(y_C = y_D = 7\)
كلا المستقيمين موازٍ لـ \((Ox)\)
إذن \((AB) \parallel (CD)\) ✓
تطبيق 2: المنتصف
\(A(-2, 5)\) و \(B(4, -1)\)
أوجد إحداثيات منتصف \([AB]\)

الحل:
\(I\left(\dfrac{-2+4}{2}, \dfrac{5+(-1)}{2}\right) = I(1, 2)\)
تطبيق 3: التناظر
مناظر \(M(3, -4)\) بالنسبة لـ \((Ox)\)؟

الحل:
\(M'(3, 4)\)
📋

خلاصة وملخص

اضغط للكشف عن الملخص

خلاصة المعلم

🔹 المستقيمات الخاصة

• موازٍ لـ \((Ox)\): \(y = k\)
• موازٍ لـ \((Oy)\): \(x = k\)

🔹 التناظرات

• بالنسبة لـ \((Ox)\): \(M(x,y) \to M'(x,-y)\)
• بالنسبة لـ \((Oy)\): \(M(x,y) \to M'(-x,y)\)
• بالنسبة لـ \(O\): \(M(x,y) \to M'(-x,-y)\)

🔹 الصيغ الأساسية

• منتصف: \(I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}, \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\)
• مسافة: \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)

🔹 نصيحة

رسم المعلم ووضع النقاط عليه يساعد كثيراً في حل المسائل!

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها