⊿ مراجعة: مبرهنة فيثاغورس ⊿

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

📚

مبرهنة فيثاغورس

اضغط للكشف عن المبرهنة

مبرهنة فيثاغورس

📌 الوضعية

مثلث \(ABC\) قائم في \(A\)

🔢 المبرهنة

\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

حيث \(BC\) هو الوتر (أطول ضلع)

💡 بالكلمات

في المثلث القائم، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين

مثال:
مثلث قائم في \(A\)
\(AB = 3cm\), \(AC = 4cm\)
\(BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(BC = \sqrt{25} = 5cm\)
🔄

مقلوب مبرهنة فيثاغورس

اضغط للكشف عن المقلوب

مقلوب مبرهنة فيثاغورس

📌 الوضعية

مثلث \(ABC\) حيث \(BC\) هو أطول ضلع

🔢 المبرهنة

إذا كان: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

فإن: المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)

💡 الاستخدام

نستخدم المقلوب لإثبات أن مثلثاً قائم الزاوية

مثال:
مثلث أضلاعه: \(5cm\), \(12cm\), \(13cm\)
نتحقق: \(13^2 = 169\)
\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\) ✓
إذن المثلث قائم في الزاوية المقابلة للضلع \(13cm\)
📏

حساب الوتر

اضغط للكشف عن الطريقة

حساب الوتر

📌 الصيغة

مثلث قائم في \(A\)، معطى \(AB\) و \(AC\)
نريد حساب \(BC\) (الوتر)

\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\)
مثال 1:
\(AB = 6cm\), \(AC = 8cm\)
\(BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64}\)
\(BC = \sqrt{100} = 10cm\)
مثال 2:
\(AB = 5cm\), \(AC = 5cm\)
\(BC = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25}\)
\(BC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07cm\)
مثال 3:
\(AB = 9cm\), \(AC = 12cm\)
\(BC = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144}\)
\(BC = \sqrt{225} = 15cm\)
📐

حساب ضلع قائم

اضغط للكشف عن الطريقة

حساب ضلع قائم

📌 الصيغة

مثلث قائم في \(A\)، معطى الوتر \(BC\) وضلع قائم \(AB\)
نريد حساب \(AC\)

\(AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}\)
مثال 1:
الوتر \(BC = 10cm\), \(AB = 6cm\)
\(AC = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36}\)
\(AC = \sqrt{64} = 8cm\)
مثال 2:
الوتر \(BC = 13cm\), \(AB = 5cm\)
\(AC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25}\)
\(AC = \sqrt{144} = 12cm\)

⚠️ تنبيه

الوتر دائماً هو أطول ضلع!
إذا كان \(AB > BC\) فهناك خطأ في المعطيات

✅

إثبات أن مثلثاً قائم

اضغط للكشف عن الطريقة

إثبات أن مثلثاً قائم

📌 الطريقة

1. نحدد أطول ضلع (نسميه الوتر المحتمل)
2. نحسب مربع أطول ضلع
3. نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين
4. نقارن

مثال 1:
مثلث أضلاعه: \(7cm\), \(24cm\), \(25cm\)
أطول ضلع: \(25cm\)
\(25^2 = 625\)
\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\) ✓
إذن المثلث قائم في الزاوية المقابلة لـ \(25cm\)
مثال 2:
مثلث أضلاعه: \(5cm\), \(6cm\), \(7cm\)
أطول ضلع: \(7cm\)
\(7^2 = 49\)
\(5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\)
\(49 \neq 61\) ✗
إذن المثلث ليس قائماً
🔢

ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة

اضغط للكشف عن الثلاثيات

ثلاثيات فيثاغورس

📌 ما هي؟

ثلاثيات فيثاغورس هي ثلاثة أعداد صحيحة تحقق العلاقة:
\(a^2 + b^2 = c^2\)

🔢 الثلاثيات الشهيرة

• \((3, 4, 5)\): \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)
• \((5, 12, 13)\): \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)
• \((8, 15, 17)\): \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\)
• \((7, 24, 25)\): \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\)
• \((9, 40, 41)\): \(9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2\)

💡 مضاعفات

إذا كان \((a, b, c)\) ثلاثية، فإن \((ka, kb, kc)\) أيضاً ثلاثية:
• \((6, 8, 10) = 2 \times (3, 4, 5)\)
• \((9, 12, 15) = 3 \times (3, 4, 5)\)

⬛

تطبيقات في الأشكال

اضغط للكشف عن التطبيقات

تطبيقات في الأشكال

📌 المستطيل

قطر المستطيل يقسمه إلى مثلثين قائمين

\(d^2 = L^2 + l^2\)
(القطر، الطول، العرض)
مثال:
مستطيل \(6cm \times 8cm\)
القطر \(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10cm\)

📌 المربع

قطر المربع:

\(d = c\sqrt{2}\)
(حيث \(c\) ضلع المربع)
مثال:
مربع ضلعه \(5cm\)
القطر \(d = 5\sqrt{2} \approx 7.07cm\)
📍

المسافة بين نقطتين

اضغط للكشف عن الصيغة

المسافة بين نقطتين

📌 في المستوى

المسافة بين نقطتين \(A(x_A, y_A)\) و \(B(x_B, y_B)\):

\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)

هذه الصيغة مشتقة من مبرهنة فيثاغورس!

مثال 1:
\(A(1, 2)\) و \(B(4, 6)\)
\(AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}\)
\(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16}\)
\(AB = \sqrt{25} = 5\)
مثال 2:
\(A(-2, 1)\) و \(B(3, 5)\)
\(AB = \sqrt{(3-(-2))^2 + (5-1)^2}\)
\(AB = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16}\)
\(AB = \sqrt{41} \approx 6.4\)
⚠️

أخطاء يجب تجنبها

اضغط للكشف عن الأخطاء

أخطاء شائعة

❌ خطأ 1: نسيان التربيع

خطأ: \(BC = AB + AC\)
صحيح: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

❌ خطأ 2: الوتر في المكان الخطأ

خطأ: \(AB^2 = BC^2 + AC^2\)
صحيح: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
(الوتر دائماً في الطرف الأيسر)

❌ خطأ 3: نسيان الجذر

خطأ: \(BC = AB^2 + AC^2\)
صحيح: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\)

❌ خطأ 4: استخدامها في مثلث غير قائم

مبرهنة فيثاغورس تنطبق فقط على المثلثات القائمة!

📋

خلاصة وملخص

اضغط للكشف عن الملخص

خلاصة فيثاغورس

🔹 المبرهنة المباشرة

المثلث قائم في \(A\)
⬇️
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

🔹 المقلوب

\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
⬇️
المثلث قائم في \(A\)

🔹 الصيغ المشتقة

• حساب الوتر: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• حساب ضلع: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)
• المسافة: \(d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\)

🔹 الشرط الأساسي

المثلث يجب أن يكون قائماً!

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها