قوى الأعداد الكسرية - السنة الثامنة

🔢

تعريف القوة

اضغط لفهم المفهوم الأساسي

تعريف القوة

📌 التعريف

قوة عدد كسري هي حاصل ضرب هذا العدد في نفسه عدة مرات

\(a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ مرة}}\)

🔑 المكونات

a : دليل القوة (العدد المضروب)
n : دليل القوة (عدد مرات الضرب)
\(a^n\) : القوة أو دليل القوة

مثال 1:

\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

نقرأ: اثنان أس ثلاثة أو اثنان قوة ثلاثة

مثال 2:

\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}\)

مثال 3:

\((-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25\)

\((-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = -125\)

⚠️ انتبه: \((-a)^n\) مختلف عن \(-a^n\) !

⭐

الأسس الخاصة

اضغط للحالات المهمة

الأسس الخاصة

1️⃣ دليل القوة يساوي 1

\(a^1 = a\)

أمثلة:

\(5^1 = 5\)

\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^1 = \dfrac{2}{3}\)

\((-7)^1 = -7\)

2️⃣ دليل القوة يساوي 0

\(a^0 = 1\) (حيث \(a \neq 0\))

أمثلة:

\(10^0 = 1\)

\(\left(\dfrac{5}{7}\right)^0 = 1\)

\((-3)^0 = 1\)

\(1000000^0 = 1\)

3️⃣ دليل القوة سالب

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) (حيث \(a \neq 0\))

أمثلة:

\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)

\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = \dfrac{16}{9}\)

\(10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0.01\)

💡 قاعدة ذهبية: كسر مرفوع لأس سالب = مقلوبه مرفوع لأس موجب

✖️

ضرب القوى

اضغط لقواعد الضرب

ضرب القوى

📌 القاعدة الأساسية

عند ضرب قوتين لهما نفس دليل القوة، نجمع الأسين

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

مثال 1:

\(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)

التحقق:

\(2^3 = 8\) و \(2^4 = 16\)

\(8 \times 16 = 128 ✓\)

مثال 2:

\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2+3} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^5\)

مثال 3 (مع أسس سالبة):

\(7^{-2} \times 7^5 = 7^{-2+5} = 7^3 = 343\)

مثال 4 (تطبيق مركب):

\(3^2 \times 3^{-5} \times 3^4 = 3^{2+(-5)+4} = 3^1 = 3\)

🎯 تمرين سريع:

احسب: \(5^3 \times 5^{-1} \times 5^2\)

الحل: \(5^{3+(-1)+2} = 5^4 = 625\)

⚠️ تنبيه: هذه القاعدة تطبق فقط عندما يكون دليل القوة متماثلاً!

➗

قسمة القوى

اضغط لقواعد القسمة

قسمة القوى

📌 القاعدة الأساسية

عند قسمة قوتين لهما نفس دليل القوة، نطرح الأسين

\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (حيث \(a \neq 0\))

مثال 1:

\(\dfrac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125\)

التحقق:

\(5^7 = 78125\) و \(5^4 = 625\)

\(78125 \div 625 = 125 ✓\)

مثال 2:

\(\dfrac{2^5}{2^8} = 2^{5-8} = 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)

مثال 3 (مع الكسور):

\(\dfrac{\left(\dfrac{3}{4}\right)^6}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{6-2} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^4\)

مثال 4 (حالة خاصة):

\(\dfrac{10^3}{10^3} = 10^{3-3} = 10^0 = 1\)

🎯 تمرين سريع:

بسّط: \(\dfrac{7^5 \times 7^2}{7^4}\)

الحل:

نجمع الأسس في البسط: \(7^{5+2} = 7^7\)
نطرح دليل القوة في المقام: \(7^{7-4} = 7^3 = 343\)

🔄

قوة القوة

اضغط لقاعدة الضرب

قوة القوة

📌 القاعدة الأساسية

عند رفع قوة إلى قوة أخرى، نضرب الأسين

\((a^m)^n = a^{m \times n}\)

مثال 1:

\((2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4096\)

التحقق:

\(2^3 = 8\) و \(8^4 = 4096 ✓\)

مثال 2:

\(\left[(3^2)^3\right]^2 = 3^{2 \times 3 \times 2} = 3^{12}\)

مثال 3 (مع أس سالب):

\((5^{-2})^3 = 5^{-2 \times 3} = 5^{-6} = \dfrac{1}{5^6}\)

مثال 4 (مع الكسور):

\(\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\right]^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2 \times 3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{64}{729}\)

🎯 تمرين تطبيقي:

بسّط: \((2^3)^2 \times 2^4\)

الحل:

نطبق قاعدة قوة القوة: \((2^3)^2 = 2^6\)
نضرب القوى: \(2^6 \times 2^4 = 2^{10} = 1024\)

💡 انتبه: \((a^m)^n\) مختلفة عن \(a^{m^n}\) (الثانية تعني \(a\) أس (\(m\) أس \(n\)))

📊

قوة حاصل ضرب

اضغط لقاعدة التوزيع

قوة حاصل ضرب

📌 القاعدة الأساسية

قوة حاصل ضرب تساوي حاصل ضرب القوى

\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)

مثال 1:

\((2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296\)

التحقق: \(6^4 = 1296 ✓\)

مثال 2 (العكس):

\(5^3 \times 2^3 = (5 \times 2)^3 = 10^3 = 1000\)

مثال 3 (مع الكسور):

\(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}\)

مثال 4 (تطبيق مركب):

\((2 \times 3 \times 5)^2 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = 4 \times 9 \times 25 = 900\)

🔑 قوة حاصل قسمة

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) (حيث \(b \neq 0\))

مثال 5:

\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{3^3}{4^3} = \dfrac{27}{64}\)

🎯 تمرين:

بسّط: \(\dfrac{6^4}{3^4}\)

الحل: \(\dfrac{6^4}{3^4} = \left(\dfrac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16\)

➕➖

إشارة القوة

اضغط لفهم الإشارات

إشارة القوة

📌 القاعدة الأساسية

إشارة القوة تعتمد على إشارة دليل القوة والأس

1️⃣ أساس موجب

القوة دائماً موجبة (مهما كان دليل القوة)

أمثلة:

\(3^2 = 9\) (موجب)

\(3^5 = 243\) (موجب)

\(3^{100}\) (موجب)

2️⃣ أساس سالب

أس زوجي: القوة موجبة
أس فردي: القوة سالبة

أمثلة (أس زوجي):

\((-2)^2 = 4\) ✓ موجب

\((-3)^4 = 81\) ✓ موجب

\((-5)^6 = 15625\) ✓ موجب

أمثلة (أس فردي):

\((-2)^3 = -8\) ✓ سالب

\((-3)^5 = -243\) ✓ سالب

\((-1)^7 = -1\) ✓ سالب

⚠️ انتبه للفرق:
• \((-5)^2 = 25\) (الأقواس تعني كل العدد السالب)
• \(-5^2 = -25\) (السالب خارج القوة)

🎯 تمارين سريعة:

1) \((-4)^3 = -64\)

2) \((-6)^2 = 36\)

3) \(-2^4 = -16\)

4) \((-1)^{99} = -1\)

🔬

الكتابة العلمية

اضغط لاكتشاف التطبيقات

الكتابة العلمية

📌 التعريف

الكتابة العلمية هي طريقة لكتابة الأعداد الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً

\(a \times 10^n\)
حيث \(1 \leq a < 10\) و \(n\) عدد صحيح

مثال 1 (أعداد كبيرة):

\(3000 = 3 \times 10^3\)

\(450000 = 4.5 \times 10^5\)

\(7800000 = 7.8 \times 10^6\)

مثال 2 (أعداد صغيرة):

\(0.05 = 5 \times 10^{-2}\)

\(0.000012 = 1.2 \times 10^{-5}\)

\(0.00000089 = 8.9 \times 10^{-7}\)

🔑 كيفية التحويل

من العدد العادي إلى الكتابة العلمية:

حرك الفاصلة لتصبح بعد أول رقم غير صفري
عد عدد المراتب المحركة
إذا حركت يساراً: دليل القوة موجب
إذا حركت يميناً: دليل القوة سالب

مثال تفصيلي:

حول \(48500\) إلى الكتابة العلمية

\(48500 = 4\underline{8500}.\)

نحرك الفاصلة 4 مراتب يساراً

\(48500 = 4.85 \times 10^4\)

🎯 تطبيقات:

سرعة الضوء: \(300000000\) م/ث = \(3 \times 10^8\) م/ث

كتلة الإلكترون: \(0.000000000000000000000000000911\) كغ
= \(9.11 \times 10^{-28}\) كغ

🎓

تبسيط التعابير

اضغط لتمارين شاملة

تبسيط التعابير

📝 منهجية التبسيط

طبق قاعدة قوة القوة أولاً
طبق قوة حاصل الضرب أو القسمة
اجمع أو اطرح الأسس عند الضرب أو القسمة
بسّط النتيجة النهائية

مثال 1:

بسّط: \(\dfrac{2^5 \times 2^3}{2^4}\)

الحل:

= \(\dfrac{2^{5+3}}{2^4}\)

= \(\dfrac{2^8}{2^4}\)

= \(2^{8-4}\)

= \(2^4 = 16\)

مثال 2:

بسّط: \((3^2)^3 \times 3^{-4}\)

الحل:

= \(3^{2 \times 3} \times 3^{-4}\)

= \(3^6 \times 3^{-4}\)

= \(3^{6+(-4)}\)

= \(3^2 = 9\)

مثال 3 (مركب):

بسّط: \(\dfrac{(5^3)^2 \times 5^{-4}}{5^2}\)

الحل:

= \(\dfrac{5^6 \times 5^{-4}}{5^2}\)

= \(\dfrac{5^{6-4}}{5^2}\)

= \(\dfrac{5^2}{5^2}\)

= \(5^{2-2} = 5^0 = 1\)

🎯 تمرين للحل:

بسّط: \(\dfrac{7^8 \times 7^{-3}}{7^4 \times 7}\)

مساعدة: ابدأ بتبسيط البسط والمقام كلاً على حدة

📖

ملخص جميع القواعد

اضغط للمراجعة الشاملة

الملخص الشامل

🔵 القواعد الأساسية

القاعدة

المثال

\(a^1 = a\)

\(5^1 = 5\)

\(a^0 = 1\)

\(7^0 = 1\)

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)

\(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\)

🔵 قواعد العمليات

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

\(3^2 \times 3^4 = 3^6\)

\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

\(\dfrac{5^7}{5^3} = 5^4\)

\((a^m)^n = a^{m \times n}\)

\((2^3)^2 = 2^6\)

\((ab)^n = a^n b^n\)

\((2 \times 3)^2 = 4 \times 9\)

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)

\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}\)

⭐ القاعدة الذهبية: عند الشك، ارجع إلى التعريف الأساسي للقوة

🎯 تمرين شامل نهائي:

بسّط: \(\dfrac{(2^3 \times 3^2)^2}{2^4 \times 3^3}\)

الحل:

= \(\dfrac{2^6 \times 3^4}{2^4 \times 3^3}\)

= \(2^{6-4} \times 3^{4-3}\)

= \(2^2 \times 3^1\)

= \(4 \times 3 = 12\)

⚡ قوى الأعداد الكسرية ⚡

تعريف القوة

تعريف القوة

📌 التعريف

🔑 المكونات

الأسس الخاصة

الأسس الخاصة

1️⃣ دليل القوة يساوي 1

2️⃣ دليل القوة يساوي 0

3️⃣ دليل القوة سالب

ضرب القوى

ضرب القوى

📌 القاعدة الأساسية

🎯 تمرين سريع:

قسمة القوى

قسمة القوى

📌 القاعدة الأساسية

🎯 تمرين سريع:

قوة القوة

قوة القوة

📌 القاعدة الأساسية

🎯 تمرين تطبيقي:

قوة حاصل ضرب

قوة حاصل ضرب

📌 القاعدة الأساسية

🔑 قوة حاصل قسمة

🎯 تمرين:

إشارة القوة

إشارة القوة

📌 القاعدة الأساسية

1️⃣ أساس موجب

2️⃣ أساس سالب

🎯 تمارين سريعة:

الكتابة العلمية

الكتابة العلمية

📌 التعريف

🔑 كيفية التحويل

🎯 تطبيقات:

تبسيط التعابير

تبسيط التعابير

📝 منهجية التبسيط

🎯 تمرين للحل:

ملخص جميع القواعد

الملخص الشامل

🔵 القواعد الأساسية

🔵 قواعد العمليات

🎯 تمرين شامل نهائي: