✖️ مراجعة: الضرب والقسمة في ℝ والجذور ➗

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

√

جداء جذرين

اضغط للكشف عن القاعدة

جداء جذرين

📏 القاعدة

\[\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{a\times b} \qquad (a\geq 0,\; b\geq 0)\]
أمثلة:

• \(\sqrt{2}\times\sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\)
• \(\sqrt{3}\times\sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\)
• \(\sqrt{5}\times\sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)

💡 حالة تُستعمل كثيراً

\[\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a \qquad (a \geq 0)\]

وهي التي تسمح بكتابة \(2 = \sqrt{2}\times\sqrt{2}\) لإظهار عامل مشترك.

⚠️ الشرط ليس زينة

القاعدة لا تصحّ إلاّ إذا كان العددان موجبين.

➗

خارج قسمة جذرين

اضغط للكشف عن القاعدة

خارج قسمة جذرين

📏 القاعدة

\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \qquad (a\geq 0,\; b>0)\]
أمثلة:

• \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5\)
• \(\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{9} = 3\)

⚠️ المقام لا يكون صفراً

هنا \(b > 0\) تماماً، وليس \(b \geq 0\).

🔧

تبسيط جذر

اضغط للكشف عن الطريقة

تبسيط جذر

🧭 الطريقة

نبحث عن أكبر مربّع كامل يقسم العدد، ثمّ نُخرجه من الجذر.

\[\sqrt{a^{2}\times b} = a\sqrt{b} \qquad (a\geq 0)\]
أمثلة من الفصل:

• \(\sqrt{12} = \sqrt{4\times3} = 2\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{27} = \sqrt{9\times3} = 3\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{50} = \sqrt{25\times2} = 5\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{75} = \sqrt{25\times3} = 5\sqrt{3}\)

💡 لماذا نبسّط؟

لأنّ \(\sqrt{12}+\sqrt{27}\) يبدو غير قابل للاختزال، بينما بعد التبسيط:
\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).

🔎 المربّعات الكاملة

\(4,\; 9,\; 16,\; 25,\; 36,\; 49,\; 64,\; 81,\; 100\ldots\) — تعلّمها تُسرّع كلّ شيء.

🔁

المقلوب

اضغط للكشف عن التعريف

المقلوب

📌 التعريف

مقلوب العدد \(a\) غير المعدوم هو العدد \(\dfrac{1}{a}\)، وهو الوحيد الذي يحقّق:

\[a \times \frac{1}{a} = 1 \qquad (a \neq 0)\]

📏 القسمة هي ضرب في المقلوب

\[\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b} \qquad (b \neq 0)\]
أمثلة:

• مقلوب \(\dfrac{2}{3}\) هو \(\dfrac{3}{2}\)
• مقلوب \(\sqrt{5}\) هو \(\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

⚠️ لا تخلط

المقلوب ليس المعاكس: مقلوب \(5\) هو \(\dfrac{1}{5}\)، ومعاكسه هو \(-5\).

1️⃣

ترقيم المقام — جذر واحد

اضغط للكشف عن الطريقة

ترقيم المقام — جذر واحد

🧭 الطريقة

نضرب البسط والمقام في الجذر نفسه.

\[\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}\]
أمثلة:

• \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
• \(\dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
• \(\dfrac{6}{\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\)

💡 لماذا يعمل؟

لأنّ \(\sqrt{b}\times\sqrt{b} = b\)، فالجذر يختفي من المقام.

🤝

المرافق

اضغط للكشف عن الحيلة

المرافق

📌 التعريف

مرافق \(a+\sqrt{b}\) هو \(a-\sqrt{b}\)، والعكس. جداؤهما يمحو الجذر:

\[\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right) = a^{2}-b\]

🧭 الاستعمال

\[\frac{a}{c \pm \sqrt{d}} = \frac{a\left(c \mp \sqrt{d}\right)}{c^{2}-d}\]
أمثلة من الفصل:

\(\dfrac{5}{2+\sqrt{3}}\) : نضرب في \(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
المقام: \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1\)
إذن النتيجة \(= 5(2-\sqrt{3})\)

\(\dfrac{3}{2\sqrt{3}-1}\) : المقام \(= (2\sqrt{3})^{2}-1^{2} = 12-1 = 11\)

⚠️ انتبه

\((2\sqrt{3})^{2} = 4\times3 = 12\) وليس \(2\times3\). المعامل يُربَّع هو أيضاً.

📤

النشر مع الجذور

اضغط للكشف عن الطريقة

النشر مع الجذور

📏 القاعدة

الجذر يُعامَل كأيّ عدد: نوزّع كالعادة.

\[a\left(b+\sqrt{c}\right) = ab + a\sqrt{c}\]
أمثلة:

• \(\sqrt{5}\left(2-\sqrt{5}\right) = 2\sqrt{5} - 5\)
• \(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+3\right) = 2 + 3\sqrt{2}\)

🔎 لاحظ

\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}\) يعطي \(5\) — عدداً بلا جذر. هكذا يختفي الجذر من بعض الحدود ويبقى في أخرى.

📥

التفكيك إلى جداء — العامل المشترك

اضغط للكشف عن الحيل

التفكيك إلى جداء — العامل المشترك

📏 القاعدة

\[a\times b + a\times c = a\left(b+c\right)\]

نستخرج العامل المشترك ونضع ما تبقّى داخل معقفين.

💡 الحيلة 1 — إظهار العامل

عدد بلا جذر يُكتب بجذرين لإظهار العامل المشترك:

\(K = 2-\sqrt{2}\)  ←  \(2 = \sqrt{2}\times\sqrt{2}\)
\(K = \sqrt{2}\times\sqrt{2}-\sqrt{2} = \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\)

💡 الحيلة 2 — قلب الإشارة

عبارتان متعاكستان تصبحان عاملاً واحداً:

\[\left(\sqrt{2}-4\right) = -\left(4-\sqrt{2}\right)\]

فـ \((4-\sqrt{2})(x+5) - (\sqrt{2}-4)(2x+3)\) يصبح
\((4-\sqrt{2})\left[(x+5)+(2x+3)\right]\).

⚠️ إشارة المعقفين

عند إزالة معقفين مسبوقين بناقص، تنقلب كلّ الإشارات داخلهما. هذا الخطأ هو الأكثر تكراراً في الفصل.

⭐

المتطابقات الشهيرة

اضغط للكشف عن الصيغ

المتطابقات الشهيرة

📏 الصيغ الثلاث

\[(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}\] \[(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}\] \[(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}\]

🧭 مع الجذور

الثالثة هي بالضبط قاعدة المرافق، لأنّ \(\left(\sqrt{b}\right)^{2} = b\).

أمثلة:

• \(\left(\sqrt{3}+1\right)^{2} = 3+2\sqrt{3}+1 = 4+2\sqrt{3}\)
• \(\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right) = 5-2 = 3\)
❓

المعادلة x² = a

اضغط للكشف عن الحلول

المعادلة \(x^{2} = a\)

📏 ثلاث حالات

• إذا كان \(a > 0\): حلّان، \(x = \sqrt{a}\) أو \(x = -\sqrt{a}\)
• إذا كان \(a = 0\): حلّ وحيد، \(x = 0\)
• إذا كان \(a < 0\): لا حلّ في \(\mathbb{R}\)

أمثلة:

• \(x^{2} = 9 \;\Rightarrow\; x = 3\) أو \(x = -3\)
• \(x^{2} = 5 \;\Rightarrow\; x = \sqrt{5}\) أو \(x = -\sqrt{5}\)
• \(x^{2} = -4\) : لا حلّ

🔴 الخطأ الأشهر

❌ \(x^{2}=9 \Rightarrow x=3\) فقط.
✅ لا تنسَ الحلّ السالب. المربّع يمحو الإشارة، فالحلّان موجودان معاً.

🧭

حساب عبارة

اضغط للكشف عن الترتيب

حساب عبارة فيها جذور

🧭 الترتيب الذي يُنجح

① بسّط كلّ جذر على حدة
② انشر الأقواس
③ اجمع الحدود المتشابهة
④ رقّم المقام إن وُجد جذر فيه

مثال:

\(P = 3x - \sqrt{12}\,y + \sqrt{27}\,z\)

نبسّط: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) و \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
\(P = 3x - 2\sqrt{3}\,y + 3\sqrt{3}\,z\)
ثمّ نستخرج \(\sqrt{3}\) من الحدّين الأخيرين:
\(P = 3x + \sqrt{3}\left(3z - 2y\right)\)

💡 لماذا نبسّط أوّلاً؟

لأنّ العامل المشترك \(\sqrt{3}\) كان مخفياً داخل \(\sqrt{12}\) و \(\sqrt{27}\).

🚫

الأخطاء الشائعة

اضغط للكشف عن القائمة

الأخطاء الشائعة

🔴 الجذور

❌ \(\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{a+b}\) — خطأ
✅ \(\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}\) — صحيح
الجداء يمرّ عبر الجذر، والجمع لا يمرّ.

🔴 المعاملات

❌ \((2\sqrt{3})^{2} = 2\times3 = 6\)
✅ \((2\sqrt{3})^{2} = 4\times3 = 12\)

🔴 الإشارات

عند إزالة معقفين مسبوقين بناقص، تنقلب كلّ الإشارات:
\(-\left[(3x+2)-(2x-1)\right] = -3x-2+2x-1\)

✔️ الاختبار الذي يحسم

عند الشكّ في قاعدة، جرّبها بأعداد بسيطة. مثال مضادّ واحد يكفي لإسقاطها.