🔢 مراجعة: الأعداد الحقيقية ℝ

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

📚

تعريف مجموعة ℝ

اضغط للكشف عن التعريف والأمثلة

📚 تعريف مجموعة ℝ

📌 التعريف

مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ هي مجموعة جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على المحور المدرج. تضمّ الأعداد النسبية ℚ والأعداد الصماء.

$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$

حيث ℐ مجموعة الأعداد الصماء.

💡 الرمز والخاصية

نرمز لها بالحرف ℝ (Real Numbers). كل نقطة على المحور تمثّل عدداً حقيقياً، والعكس صحيح.

✨ أمثلة

• $5 \in \mathbb{R}$ ، $\frac{3}{4} \in \mathbb{R}$

• $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ ، $\pi \in \mathbb{R}$ (صمّاء)

📦

المجموعات الجزئية

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

📦 المجموعات الجزئية

📌 التسلسل الهرمي

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

ℕ الطبيعية ، ℤ الصحيحة النسبية ، ℚ الكسرية ، ℝ الحقيقية.

📌 ℝ⁺ و ℝ⁻ و ℝ*

$$\mathbb{R}^+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}$$
$$\mathbb{R}^- = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\}$$
$$\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

✨ ملاحظة

كل عدد نسبي حقيقي، لكن ليس كل حقيقي نسبياً: $\sqrt{2}$ حقيقي وليس نسبياً.

🌀

الأعداد الصماء

حقيقية ليست نسبية

🌀 الأعداد الصماء

📌 التعريف

العدد الأصم عدد حقيقي لا يُكتب على شكل كسر $\frac{a}{b}$.

$$\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$

كتابته العشرية غير منتهية وغير دورية.

✨ أمثلة شهيرة

• $\sqrt{2} = 1.41421\ldots$ ، $\pi = 3.14159\ldots$ ، $e = 2.71828\ldots$

• $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt[3]{2}$

⚠️ تنبيه

ليس كل جذر أصمّ: $\sqrt{4} = 2$ و $\sqrt{9} = 3$ (نسبية) ، بينما $\sqrt{2}$ و $\sqrt{5}$ صمّاء.

√

الجذر التربيعي

التعريف والخصائص

√ الجذر التربيعي

📌 التعريف والشروط

$$\sqrt{a} = x \Leftrightarrow x^2 = a \text{ و } x \geq 0$$

$\sqrt{a}$ موجود إذا وفقط إذا $a \geq 0$ ، وهو موجب دائماً.

🔢 الخصائص

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}, \quad \sqrt{\tfrac{a}{b}} = \tfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \quad (\sqrt{a})^2 = a$$

✨ أمثلة

• $\sqrt{16} = 4$ ، $\sqrt{25} = 5$ ، $\sqrt{1} = 1$

• $\sqrt{4 \times 9} = 2 \times 3 = 6$ ، $(\sqrt{7})^2 = 7$

🔁

الكتابات العشرية

منتهية / دورية / غير دورية

🔁 الكتابات العشرية

1️⃣ منتهية

عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة: $0.5$ ، $3.75$. ✅ أعداد نسبية.

2️⃣ غير منتهية دورية

$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ ، $0.\overline{6} = \frac{2}{3}$ ، $0.\overline{142857} = \frac{1}{7}$. ✅ أعداد نسبية.

3️⃣ غير منتهية وغير دورية

$\sqrt{2} = 1.4142\ldots$ ، $\pi = 3.1415\ldots$. ❌ أعداد صمّاء.

💡 قاعدة التمييز

نسبي ⇔ عشرية منتهية أو دورية ؛ أصمّ ⇔ عشرية غير منتهية وغير دورية.

📐

القيمة المطلقة |x|

المسافة إلى الصفر

📐 القيمة المطلقة في ℝ

📌 التعريف

$$|x| = \begin{cases} x & \text{إذا } x \geq 0 \\ -x & \text{إذا } x < 0 \end{cases}$$

🔢 الخصائص

  • $|x| \geq 0$ ، و $|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
  • $|x| = |-x|$ ، $|xy| = |x|\,|y|$

✨ أمثلة والمسافة

• $|-7| = 7$ ، $|-\pi| = \pi$

• المسافة: $d(a,b) = |b-a|$ ؛ $d(-2.5,3.7) = |6.2| = 6.2$

📏

المحور المدرج لـ ℝ

تمثيل وكثافة الأعداد

📏 المحور المدرج لـ ℝ

📌 خاصية أساسية

كل نقطة على المحور تمثّل عدداً حقيقياً وحيداً، وكل عدد حقيقي يمثّل نقطة وحيدة.

✨ وضع $\sqrt{2}$ على المحور

مثلث قائم متساوي الساقين ضلعاه $1$ : الوتر $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$، ثمّ دائرة بمركز O تقطع المحور في $\sqrt{2}$.

💡 كثافة ℚ و ℐ في ℝ

بين كلّ عددين حقيقيين يوجد عدد نسبي وعدد أصمّ، بل عدد لا نهائي من الأعداد.

⚖️

الترتيب والمقارنة

مقارنة الأعداد الحقيقية

⚖️ الترتيب والمقارنة

📌 الترتيب في ℝ

ℝ مرتّبة ترتيباً تاماً: لكلّ $a,b$ إمّا $ab$ ، والترتيب متعدٍّ.

🔢 طرق المقارنة

بالكتابة العشرية: $\sqrt{2} \approx 1.414 < 1.5$.

بالتربيع (لموجبين): $(\sqrt{5})^2 = 5 < (2.3)^2 = 5.29$ إذن $\sqrt{5} < 2.3$.

✨ تطبيق على المتراجحات

إذا $-3 < x < 5$ : نضرب في $2$ ثمّ نضيف $1$ فنحصل على $-5 < 2x+1 < 11$.

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها