📐 الحصر والمجالات والمعادلات 📐

رحلة متقدمة في عالم الرياضيات - السنة التاسعة أساسي

🎯

الحصر - Encadrement

اضغط لاكتشاف المفهوم

الحصر - Encadrement

📌 التعريف

إذا كان \(x\) عددا معلوما ومحصورا بين عددين \(a\) و \(b\) حيث \(a < x < b\)

نقول أن مدى الحصر هو \(b - a\)

\(a < x < b\)
مدى الحصر = \(b - a\)
مثال 1:
\(6 < \dfrac{70}{11} < 7\)

العدد \(\dfrac{70}{11}\) محصور بين 6 و 7
مدى الحصر = \(7 - 6 = 1\)
مثال 2:
\(6.363 < \dfrac{70}{11} < 6.364\)

مدى الحصر = \(6.364 - 6.363 = 0.001\)

🎯 ملاحظة

كلما صغر مدى الحصر، كان التقريب أدق

➕

جمع الحصور

اضغط لمعرفة القاعدة

جمع الحصور

📐 القاعدة

إذا كان \(a \leq x \leq b\) و \(c \leq y \leq d\)

\(a + c \leq x + y \leq b + d\)
مثال:
\(2 \leq a \leq 3\) و \(\dfrac{\sqrt{2}}{4} \leq b \leq \dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

الحل:
\(2 + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \leq a + b \leq 3 + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

\(\dfrac{8 + \sqrt{2}}{4} \leq a + b \leq \dfrac{12 + \sqrt{3}}{4}\)

\(\dfrac{8 + 1.414}{4} \leq a + b \leq \dfrac{12 + 1.732}{4}\)

\(2.354 \leq a + b \leq 3.433\)

✨ خاصيات

• يمكن جمع عدة حصور
• الحصر المحصل عليه يحافظ على نفس اتجاه عدم المساواة

✖️

ضرب الحصور

اضغط للتعرف على القاعدة

ضرب الحصور

📐 القاعدة (للأعداد الموجبة)

إذا كان \(a \leq x \leq b\) و \(c \leq y \leq d\)

حيث \(a, b, c, d\) أعداد حقيقية موجبة

\(ac \leq xy \leq bd\)
مثال:
\(\dfrac{2}{3} \leq x \leq 2\) و \(3 \leq y \leq 2\)

الحل:
أصغر قيمة: \(\dfrac{2}{3} \times 3 = 2\)
أكبر قيمة: \(2 \times 2 = 4\)

إذن: \(2 \leq xy \leq 4\)

⚠️ تنبيه هام

هذه القاعدة صحيحة فقط للأعداد الموجبة!

للأعداد السالبة يجب الانتباه لتغيير اتجاه عدم المساواة

📊

المجالات - Intervalles

اضغط لاكتشاف الأنواع

المجالات - Intervalles

📌 التعريف

المجال هو مجموعة من الأعداد الحقيقية محصورة أو غير محصورة

🎯 أنواع المجالات

  • مجال مغلق: \([a, b]\)
  • مجال مفتوح: \(]a, b[\)
  • مجال نصف مفتوح: \([a, b[\) أو \(]a, b]\)
  • مجال غير محدود: \([a, +\infty[\) أو \(]-\infty, b]\)

📝 الرموز

• \([\) أو \(]\) : طرف مغلق (منتمي)
• \(]\) أو \([\) : طرف مفتوح (غير منتمي)

🔒

المجال المغلق

اضغط للتفاصيل

المجال المغلق [a, b]

📌 التعريف

\([a, b] = \{x \in \mathbb{R} \, / \, a \leq x \leq b\}\)

يحتوي على الطرفين \(a\) و \(b\)

\(x \in [a, b]\) يعني \(a \leq x \leq b\)
مثال 1:
\([−3, 2] = \{x \in \mathbb{R} \, / \, -3 \leq x \leq 2\}\)

الأعداد: -3، -2، -1، 0، 1، 2 وجميع الأعداد الحقيقية بينهم
مثال 2:
\([1, \dfrac{5}{2}] = \{x \in \mathbb{R} \, / \, 1 \leq x \leq 2.5\}\)

🎨 التمثيل

على المستقيم العددي نرسم قوسين مغلقين [] عند الطرفين

🔓

المجال المفتوح

اضغط للتعرف عليه

المجال المفتوح ]a, b[

📌 التعريف

\(]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} \, / \, a < x < b\}\)

لا يحتوي على الطرفين \(a\) و \(b\)

\(x \in ]a, b[\) يعني \(a < x < b\)
مثال 1:
\(]-2, 3[ = \{x \in \mathbb{R} \, / \, -2 < x < 3\}\)

لا يحتوي على -2 و 3 ولكن يحتوي على جميع الأعداد بينهما
مثال 2:
\(]0, 1[\) يحتوي على 0.5، 0.1، 0.999 ولكن ليس 0 ولا 1

🎨 التمثيل

على المستقيم العددي نرسم قوسين مفتوحين ][ عند الطرفين

🔐

المجالات نصف المفتوحة

اضغط لمعرفة النوعين

المجالات نصف المفتوحة

📐 النوع الأول: [a, b[

\([a, b[ = \{x \in \mathbb{R} \, / \, a \leq x < b\}\)

مغلق من اليسار، مفتوح من اليمين

📐 النوع الثاني: ]a, b]

\(]a, b] = \{x \in \mathbb{R} \, / \, a < x \leq b\}\)

مفتوح من اليسار، مغلق من اليمين

مثال 1:
\([1, 3[\) يحتوي على 1 ولكن لا يحتوي على 3
\(1 \leq x < 3\)
مثال 2:
\(]-2, 5]\) لا يحتوي على -2 ولكن يحتوي على 5
\(-2 < x \leq 5\)
∞

المجالات غير المحدودة

اضغط لاستكشافها

المجالات غير المحدودة

📐 نحو \(+\infty\)

\([a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \, / \, x \geq a\}\)

\(x \in [a, +\infty[\) يعني \(x \geq a\)

📐 نحو \(-\infty\)

\(]-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \, / \, x \leq b\}\)

\(x \in ]-\infty, b]\) يعني \(x \leq b\)
أمثلة:
• \([2, +\infty[\) : جميع الأعداد الأكبر أو تساوي 2
• \(]-\infty, -1[\) : جميع الأعداد الأصغر من -1
• \(]0, +\infty[\) : جميع الأعداد الموجبة الحقيقية

⚠️ ملاحظة

\(\infty\) رمز وليس عددا، لذا يكون دائما في جهة مفتوحة!

⚖️

المعادلات من الدرجة الأولى

اضغط لتعلم الحل

معادلة من الدرجة الأولى

📌 التعريف

كل عبارة تؤول كتابتها إلى \(ax = b\)

حيث \(a \neq 0\) و \(b\) عددان حقيقيان معلومان

\(ax = b\) ⟹ \(x = \dfrac{b}{a}\)
مثال 1: \(2x + 3 = x - 4\)

\(2x - x = -4 - 3\)
\(x = -7\)
مثال 2: \(\dfrac{x-1}{2} - \dfrac{x+1}{3} = x\)

المقام المشترك: 6
\(3(x-1) - 2(x+1) = 6x\)
\(3x - 3 - 2x - 2 = 6x\)
\(x - 5 = 6x\)
\(-5x = 5\)
\(x = -1\)
⚖️

المتراجحات من الدرجة الأولى

اضغط لمعرفة القواعد

متراجحة من الدرجة الأولى

📌 التعريف

كل لامساواة تؤول إلى \(ax + b \geq 0\)

أو \(ax + b > 0\) أو \(ax + b \leq 0\) أو \(ax + b < 0\)

\(ax \geq b\) ⟹ \(x \geq \dfrac{b}{a}\) (إذا \(a > 0\))
\(ax \geq b\) ⟹ \(x \leq \dfrac{b}{a}\) (إذا \(a < 0\))
مثال 1: \(3x - 1 \geq 2\)

\(3x \geq 3\)
\(x \geq 1\)

الحل: \([1, +\infty[\)
مثال 2: \(-2x + 5 > 1\)

\(-2x > -4\)
\(x < 2\) (تغيير الاتجاه!)

الحل: \(]-\infty, 2[\)
📏

القيمة المطلقة والمجالات

اضغط للتعرف على العلاقة

القيمة المطلقة

📐 القواعد الأساسية

\(|x| \leq a\) ⟺ \(-a \leq x \leq a\)
⟺ \(x \in [-a, a]\)
\(|x| \geq a\) ⟺ \(x \leq -a\) أو \(x \geq a\)
⟺ \(x \in ]-\infty, -a] \cup [a, +\infty[\)
مثال 1: \(|x| \leq 3\)

\(-3 \leq x \leq 3\)
الحل: \([-3, 3]\)
مثال 2: \(|x - 2| \leq 1\)

\(-1 \leq x - 2 \leq 1\)
\(1 \leq x \leq 3\)
الحل: \([1, 3]\)
مثال 3: \(|x| > 5\)

\(x < -5\) أو \(x > 5\)
الحل: \(]-\infty, -5[ \cup ]5, +\infty[\)
🏆

مسائل تطبيقية شاملة

اضغط لحل التمارين المتقدمة

تطبيقات متقدمة

تمرين 1:
\(\dfrac{2}{5} \leq x \leq \dfrac{3}{5}\)

أ) أوجد حصرا لـ \(3x - 1\)

الحل:
\(\dfrac{6}{5} \leq 3x \leq \dfrac{9}{5}\)
\(\dfrac{6}{5} - 1 \leq 3x - 1 \leq \dfrac{9}{5} - 1\)
\(\dfrac{1}{5} \leq 3x - 1 \leq \dfrac{4}{5}\)

المجال: \([\dfrac{1}{5}, \dfrac{4}{5}]\)
تمرين 2:
\(2 \leq x \leq 3\) و \(\dfrac{2}{3} \leq y \leq 2\)

أوجد حصرا لـ \(xy\)

الحل:
أصغر قيمة: \(2 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\)
أكبر قيمة: \(3 \times 2 = 6\)

\(\dfrac{4}{3} \leq xy \leq 6\)
تمرين 3:
حل: \(\dfrac{x-1}{2} - \dfrac{2x+1}{3} \geq x\)

الحل:
\(3(x-1) - 2(2x+1) \geq 6x\)
\(3x - 3 - 4x - 2 \geq 6x\)
\(-x - 5 \geq 6x\)
\(-7x \geq 5\)
\(x \leq -\dfrac{5}{7}\)

الحل: \(]-\infty, -\dfrac{5}{7}]\)
🎯 اضغط على أي بطاقة لاكتشاف الأسرار الرياضية