📐 التعامد في الفضاء 📐

هندسة الفضاء الثلاثية الأبعاد - السنة التاسعة أساسي

📏

المستقيم والمستوي في الفضاء

اضغط لاكتشاف الأوضاع النسبية

المستقيم والمستوي في الفضاء

🔷 الأوضاع النسبية

في الفضاء، مستقيم ومستوي يمكن أن يكونا:

1️⃣ المستقيم محتوى في المستوي

المستقيم \(\Delta\) يحتوي على نقطتين على الأقل من المستوي \(P\)

الرمز: \(\Delta \subset P\)

2️⃣ المستقيم يقطع المستوي

المستقيم والمستوي لهما نقطة مشتركة وحيدة

الرمز: \(\Delta \cap P = \{A\}\)

3️⃣ المستقيم موازٍ للمستوي

المستقيم والمستوي ليس لهما أي نقطة مشتركة

الرمز: \(\Delta \parallel P\)

⚠️ مستقيمان في الفضاء: إما متوازيان، إما متقاطعان، أو ليسا في نفس المستوي
⏸️

التوازي في الفضاء

اضغط للقواعد الأساسية

قواعد التوازي في الفضاء

📐 خاصية 1

إذا كان مستقيم موازياً لمستقيم محتوى في مستوي، فإن المستقيم الأول إما موازٍ للمستوي أو محتوى فيه

إذا كان: \(\Delta' \parallel \Delta\) و \(\Delta \subset P\)
فإن: \(\Delta' \parallel P\) أو \(\Delta' \subset P\)

📐 خاصية 2

إذا كان مستويان متوازيين، فإن كل مستقيم محتوى في أحدهما موازٍ للآخر

مثال:
في متوازي المستطيلات ABCDEFGH:
• المستقيم (AB) موازٍ للمستقيم (DC)
• المستقيم (AB) موازٍ للمستوي (EFG)
• المستوي (ABC) موازٍ للمستوي (EFG)
💡 مستويان متوازيان لا يتقاطعان أبداً
⊥

المستقيم العمودي على مستوي

اضغط للتعريف الأساسي

المستقيم العمودي على مستوي

📌 التعريف

مستقيم عمودي على مستوي هو مستقيم عمودي على مستقيمين متقاطعين من المستوي في نفس النقطة

إذا كان: \(\Delta \perp d_1\) و \(\Delta \perp d_2\)
حيث \(d_1\) و \(d_2\) متقاطعان في \(A\) و ينتميان إلى \(P\)
فإن: \(\Delta \perp P\)

🔑 خاصية أساسية

مستقيم عمودي على مستوي هو عمودي على كل مستقيمات هذا المستوي المارة من نقطة التقاطع

مثال تطبيقي:
في الموشور القائم ABCDEF:
• المستقيم (AE) عمودي على المستوي (ABC)
• إذن (AE) ⊥ (AB) و (AE) ⊥ (AC) و (AE) ⊥ (BC)
⚠️ من نقطة معينة في الفضاء يمر مستقيم واحد عمودي على مستوي معلوم
📐

المستوي العمودي على مستقيم

اضغط للخصائص

المستوي العمودي على مستقيم

📌 الخاصية الأساسية

من نقطة معينة في الفضاء يمر مستوٍ واحد عمودي على مستقيم معلوم

🔷 خاصية التوازي

مستويان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان

إذا كان: \(P_1 \perp \Delta\) و \(P_2 \perp \Delta\)
فإن: \(P_1 \parallel P_2\)

🔷 خاصية التعامد

مستقيمان عموديان على نفس المستوي هما متوازيان

إذا كان: \(\Delta_1 \perp P\) و \(\Delta_2 \perp P\)
فإن: \(\Delta_1 \parallel \Delta_2\)
مثال:
في المكعب ABCDEFGH:
• المستويان (ABC) و (EFG) عموديان على (AE)
• إذن المستويان متوازيان
🔲

الموشور القائم

اضغط للخصائص الهندسية

الموشور القائم

📌 التعريف

الموشور القائم هو مجسم له قاعدتان متقايستان ومتوازيتان، وأوجهه الجانبية مستطيلات

🔑 الخصائص

  • الأحرف الجانبية متوازية ومتقايسة
  • كل حرف جانبي عمودي على القاعدتين
  • الأوجه الجانبية مستطيلات
  • القاعدتان متوازيتان ومتقايستان
حجم الموشور = مساحة القاعدة × الارتفاع
\(V = A_{base} \times h\)
مثال محلول:
موشور قائم قاعدته مثلث قائم في A
AB = 3 cm، AC = 4 cm، BE = 5 cm

مساحة القاعدة = \(\frac{3 \times 4}{2} = 6\) cm²
الحجم = \(6 \times 5 = 30\) cm³
🔺

الهرم المنتظم

اضغط للتعريف والخصائص

الهرم المنتظم

📌 التعريف

الهرم المنتظم هو هرم قاعدته مضلع منتظم حيث ينتمي رأسه إلى المستقيم العمودي على مستوي القاعدة في مركز الدائرة المحيطة بالمضلع

🔑 الخصائص

  • الأوجه الجانبية مثلثات متقايسة
  • كل وجه جانبي مثلث متقايس الضلعين
  • الأحرف الجانبية متقايسة
  • قمة كل مثلث جانبي هي رأس الهرم

📐 العلاقة الأساسية

إذا كان h ارتفاع الهرم و R شعاع الدائرة المحيطة بالقاعدة، فإن طول الحرف الجانبي:

\(SA = \sqrt{h^2 + R^2}\)
مثال:
هرم منتظم قاعدته مربع AB = 6 cm و SO = 4 cm
شعاع الدائرة: \(R = OB = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) cm
الحرف الجانبي: \(SB = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34}\) cm
📦

متوازي المستطيلات

اضغط للصيغ الهامة

متوازي المستطيلات

📌 التعريف

متوازي المستطيلات هو موشور قائم قاعدته مستطيل

له 6 أوجه مستطيلة، 12 حرفاً، و 8 رؤوس

📏 الأبعاد

إذا كانت أبعاد متوازي المستطيلات هي: a، b، c

طول القطر:
\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
الحجم:
\(V = a \times b \times c\)

🔑 خاصية الأقطار

كل الأقطار [EC]، [HB]، [AG]، [DF] متقايسة وتتقاطع في نقطة واحدة هي مركز متوازي المستطيلات

مثال محلول:
AB = 3، AE = 4، AD = 5
القطر: \(EC = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm
⬛

المكعب

اضغط للصيغ الخاصة

المكعب - حالة خاصة

📌 التعريف

المكعب هو متوازي مستطيلات جميع أحرفه متقايسة

له 6 أوجه مربعة متطابقة

📏 إذا كان طول حرف المكعب هو a

طول القطر:
\(d = a\sqrt{3}\)
الحجم:
\(V = a^3\)
المساحة الكلية:
\(S_{totale} = 6a^2\)

🔑 الخصائص الهندسية

  • كل الأوجه مربعات متطابقة
  • كل الأحرف متقايسة
  • كل الزوايا قائمة
  • الأقطار الأربعة متقايسة
مثال:
مكعب طول حرفه a = 5 cm
القطر = \(5\sqrt{3} \approx 8.66\) cm
الحجم = \(5^3 = 125\) cm³
📐

فيثاغورس في الفضاء

اضغط للتطبيقات

نظرية فيثاغورس في الفضاء

📌 المبدأ

نستعمل نظرية فيثاغورس على مثلثات قائمة الزاوية في الفضاء

🔍 طريقة الحل

  • نحدد المثلث القائم الزاوية في المستوي
  • نطبق فيثاغورس: \(a^2 + b^2 = c^2\)
  • نستعمل النتيجة في مثلث آخر
  • نكرر حتى نصل للحل المطلوب
مثال محلول:
موشور قائم ABCDEF حيث ABC قائم في A
AB = 3، AC = 2، BE = 5

الخطوة 1: نحسب BC
\(BC^2 = 3^2 + 2^2 = 13\)
\(BC = \sqrt{13}\)

الخطوة 2: نحسب AE
\(AE^2 = AB^2 + BE^2 = 9 + 25 = 34\)
\(AE = \sqrt{34}\)

الخطوة 3: نحسب EC
\(EC^2 = BC^2 + BE^2 = 13 + 25 = 38\)
\(EC = \sqrt{38}\)
🎯

المسقط العمودي

اضغط للتعريف

المسقط العمودي

📌 تعريف 1

المسقط العمودي لنقطة A على مستقيم \(\Delta\) هو نقطة تقاطع المستقيم العمودي على \(\Delta\) المار من A مع \(\Delta\)

📌 تعريف 2

المسقط العمودي لنقطة A على مستوٍ P هو نقطة تقاطع المستقيم العمودي على P المار من A مع P

🔑 خاصية هامة

إذا كان H المسقط العمودي للنقطة A على المستقيم \(\Delta\)، فإن AH هو أقصر مسافة من A إلى \(\Delta\)

مثال تطبيقي:
في الهرم المنتظم SABC:
• O هو المسقط العمودي للنقطة S على المستوي (ABC)
• O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC
• SO هو ارتفاع الهرم
💡 في الهرم المنتظم، ارتفاع الهرم يمر بمركز القاعدة
📐

إثبات التعامد في الفضاء

اضغط للطرق

إثبات أن مثلث قائم الزاوية

🔍 طريقة 1: نظرية فيثاغورس

نحسب مربعات الأضلاع الثلاثة

إذا كان: \(a^2 + b^2 = c^2\) فالمثلث قائم

🔍 طريقة 2: التعامد المباشر

نثبت أن أحد أضلاع المثلث عمودي على ضلع آخر

🔍 طريقة 3: استعمال التعامد في الفضاء

إذا كان مستقيم عمودي على مستوٍ، فهو عمودي على كل مستقيم في هذا المستوي

مثال:
نريد إثبات أن المثلث AEC قائم في A

الطريقة:
• نثبت أن (AE) ⊥ (ABC)
• إذن (AE) ⊥ (AC) لأن (AC) في المستوي (ABC)
• إذن المثلث AEC قائم في A
📊

حساب الأحجام في الفضاء

اضغط للصيغ

صيغ حساب الأحجام

1️⃣ حجم الموشور

\(V = \text{مساحة القاعدة} \times \text{الارتفاع}\)

2️⃣ حجم الهرم

\(V = \dfrac{1}{3} \times \text{مساحة القاعدة} \times \text{الارتفاع}\)

3️⃣ حجم متوازي المستطيلات

\(V = \text{الطول} \times \text{العرض} \times \text{الارتفاع}\)
\(V = a \times b \times c\)

4️⃣ حجم المكعب

\(V = a^3\)
مثال محلول شامل:
هرم منتظم قاعدته مربع AB = 6 cm و SO = 4 cm

مساحة القاعدة = \(6^2 = 36\) cm²
الحجم = \(\dfrac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48\) cm³
🎯 اضغط على أي بطاقة لاكتشاف عالم الهندسة الفضائية