➕ مراجعة: الجمع والطرح في ℝ والقيمة المطلقة ➖

📏 التبديلية

📏 التجميعية

📏 العنصر المحايد والمعاكس

\(a+0 = 0+a = a\)  ·  \(a+(-a) = 0\)

📌 التعريف الرسمي

إذا كان العدد موجباً أو صفراً نُبقيه، وإذا كان سالباً نأخذ ضدّه لنحصل على عدد موجب.

📏 خاصية أساسية

القيمة المطلقة موجبة أو معدومة، أبداً سالبة.

🎯 المسافة إلى الصفر

\(|a|\) هي المسافة بين العدد \(a\) والصفر على المستقيم العددي.

📏 المسافة بين عددين

وهذا يفسّر لماذا لا تتغيّر المسافة إذا بدّلنا ترتيب العددين.

📏 القواعد الأساسية

🔴 القاعدة التي تُنسى دائماً

\(\sqrt{a^{2}}\) لا يساوي \(a\)، بل \(|a|\).

❌ \(\sqrt{(-8)^{2}} = -8\)
✅ \(\sqrt{(-8)^{2}} = \sqrt{64} = 8 = |-8|\)

📌 التعريف

لكلّ عدد حقيقي موجب \(a\)، الجذر التربيعي \(\sqrt{a}\) هو العدد الموجب الوحيد \(b\) الذي يحقّق:

📏 الشرطان

\(\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a\)  ·  \(\sqrt{a} \geq 0\)

⚠️ تنبيه

\(\sqrt{a}\) معرّف فقط عندما \(a \geq 0\) في \(\mathbb{R}\). فـ \(\sqrt{-4}\) غير معرّف.

📏 القاعدة

لا نجمع إلاّ الحدود المتشابهة، أي التي تحمل الجذر نفسه — تماماً كما نجمع \(3x+5x\).

🔴 الخطأ الأخطر في الفصل

مثال مضادّ: \(\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7\)، بينما \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\).

💡 الحيلة

ابسّط الجذور أوّلاً: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)، فيصبح \(\sqrt{8}+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}+\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).

📌 المبدأ

تحويل كسر يحتوي على جذر في المقام إلى كسر مكافئ مقامه خالٍ من الجذور.

① جذر واحد في المقام

نضرب البسط والمقام في \(\sqrt{b}\).

② مجموع أو فرق — المرافق

③ جذران

📏 الترتيب

وعند تساوي الدرجة، ننجز من اليسار إلى اليمين.

⚠️ الجذر يعمل كقوس

ما تحت الجذر يُحسب أوّلاً: \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)، وليس \(\sqrt{9}+16\).

🔴 الجذور

❌ \(\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{a+b}\)
❌ \(\sqrt{a^{2}} = a\) مهما كانت إشارة \(a\)
✅ \(\sqrt{a^{2}} = |a|\)

🔴 القيمة المطلقة

❌ \(|a| = a\) دائماً
❌ \(|{-a}| = -|a|\)
✅ \(|-a| = |a|\) والقيمة المطلقة موجبة دائماً

✔️ الحيلة الأخيرة

عند الشكّ، جرّب مثالاً عددياً: خذ \(a=-3\) واحسب الطرفين. مثال مضادّ واحد يكفي لإسقاط قاعدة خاطئة.