📊 مراجعة: الإحصاء والاحتمالات 📊

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

📋

مفردات السلسلة

اضغط للكشف عن التعاريف

السلسلة الإحصائية

📌 التعاريف

  • المجموعة: ما تنصبّ عليه الدراسة (تلاميذ، أسر، عمّال…).
  • الميزة: ما نَدرسه فيها (العمر، الطول، عدد الأطفال…).
  • القيم: ما تأخذه الميزة من أعداد.
  • التكرار \(n_i\): عدد الأفراد الموافقين لقيمة.
  • التكرار الجملي \(N\): مجموع التكرارات.
مثال: درجات الحرارة المسجّلة خلال شهر جويلية.
المجموعة: أيام الشهر · الميزة: درجة الحرارة · التكرار الجملي: \(N=31\).

إذا كانت الدراسة في صورة أعداد نقول إنّ السلسلة ذات ميزة كمّية.
🔀

منقطعة أم مسترسلة؟

اضغط للكشف عن الفرق

نوع الميزة الكمّية

🔢 ميزة منقطعة

قيمها قليلة ومعدودة: عدد الأطفال، عدد الكتب، نتيجة نرد.

عمود واحد لكلّ قيمة يكفي.

📏 ميزة مسترسلة

قيمها كثيرة ومختلفة: الطول، الكتلة، المدّة، الأجر.

جدول بعمود لكلّ قيمة يعيد كتابة القائمة دون أن يلخّص شيئا ← نجمّع القيم في فئات.

⚠️ هذا الاختيار يحدّد كلّ ما يأتي بعده: شكل الجدول، نوع المخطّط، وطريقة حساب المعدّل.
%

التواتر

اضغط للكشف عن القاعدة

التكرار والتواتر

📌 القاعدة

تواتر قيمة هو نسبة تكرارها إلى التكرار الجملي:

\[ f_i = \dfrac{n_i}{N} \]

ونعبّر عنه أيضا بـنسبة مائوية: \(f_i \times 100\).

مثال: من بين \(N=40\) حريفا، اشترى \(10\) حذاء قيسه \(30\).
\(f = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\).

✅ مراقبة

مجموع التكرارات \(=N\) ، ومجموع التواترات \(=1\) أي \(100\,\%\).

📦

الفئات

اضغط للكشف عن الكتابة

الفئات \([a\,;\,b[\)

📌 التعريف

عندما تكون الميزة مسترسلة، نوزّع قيمها على مجموعات متساوية الطول؛ كلّ مجموعة تسمّى فئة.

الميزة التي جُمّعت قيمها في فئات تسمّى ميزة مسترسلة.

✍️ الكتابة

\([a\,;\,b[\) تعني: من \(a\) إلى ما دون \(b\).

الحدّ \(b\) يعود إلى الفئة الموالية، فلا يُحسب فرد مرّتين.

مثال: أطوال 80 تلميذا موزّعة على فئات طولها \(5\):
\([140;145[\) ، \([145;150[\) ، \([150;155[\) …

التلميذ الذي طوله \(145\) يُحسب في الفئة \([145;150[\) ، لا في الأولى.
🎯

مركز الفئة

اضغط للكشف عن القاعدة

مركز الفئة

📌 القاعدة

مركز الفئة هو المعدّل الحسابي لطرفيها.

\[ c = \dfrac{a+b}{2} \]
أمثلة:
مركز \([5;10[\) هو \(\dfrac{5+10}{2}=7{,}5\)
مركز \([30;35[\) هو \(\dfrac{30+35}{2}=32{,}5\)

⚠️ لماذا هو مهمّ؟

داخل الفئة لم نعد نعرف القيم بالضبط. مركز الفئة هو الذي يعوّض هذه القيم في كلّ حساب (المعدّل، مضلّع التكرارات).

الخطأ الشائع: أخذ حدّ الفئة بدل مركزها، أو جمع الطرفين دون القسمة على \(2\).

📊

مخطّط المستطيلات

اضغط للكشف عن القاعدة

التمثيل بالمخطّطات

📌 القاعدة

تُمثّل السلسلة الإحصائيّة المسترسلة بمخطّط يسمّى مخطّط المستطيلات: لكلّ فئة مستطيل، عرضه طول الفئة وارتفاعه يوافق تكرارها.

🚫 لا تخلط

  • ميزة منقطعة ← مخطّط العصيّات (عصيّات منفصلة).
  • ميزة مسترسلة ← مستطيلات متلاصقة، لا فراغ بينها.

الفراغ بين المستطيلات خطأ، لا خيار جماليّ: الفئات متلاصقة.

💡 المخطّط الدائري (أو نصف الدائري) يمثّل التوزيع بالنسب المائوية: \(100\,\%\) توافق \(360^\circ\) (أو \(180^\circ\)).
📈

مضلّع التكرارات

اضغط للكشف عن الرسم

مضلّع التكرارات

📏 ميزة مسترسلة

نربط النقاط التي فواصلها مراكز الفئات وتراتيبها التكرارات.

المضلّع يمرّ إذن بـمنتصفات أعالي المستطيلات، لا بحدود الفئات.

🔚 إغلاق المضلّع

نضيف من الطرفين فئة تكرارها \(0\) ونربط بمركزيهما، حتّى تتساوى مساحة المضلّع مع مجموع مساحات المستطيلات.

مثال: فئات من \([5;10[\) إلى \([30;35[\) ← نبدأ من \(A(2{,}5\,;\,0)\) وننتهي عند \(H(37{,}5\,;\,0)\).

ميزة منقطعة: نربط رؤوس العصيّات.
⚖️

المعدّل

اضغط للكشف عن الصيغة

المعدّل الحسابي

📌 الصيغة

\[ \bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N} \]

حيث \(n_i\) التكرارات و \(N\) التكرار الجملي.

🔑 المفتاح

  • ميزة منقطعة: \(x_i\) هي القيم.
  • ميزة مسترسلة: \(x_i\) هي مراكز الفئات.
مثال: \(N=30\) تلميذا موزّعين على فئات مراكزها \(142{,}5\;147{,}5\;152{,}5\;157{,}5\;162{,}5\;167{,}5\) وتكراراتها \(2\;4\;7\;9\;5\;3\).
\(\sum n_i x_i = 4590\) ومنه \(\bar{x} = \dfrac{4590}{30} = 153\) cm.

⚠️ المعدّل المحسوب من المراكز تقريبيّ، وهذا مقبول.
✂️

الموسّط

اضغط للكشف عن القاعدة

الموسّط \(\mathrm{Me}\)

📌 التعريف

موسّط سلسلة إحصائية منقطعة هو قيمة للميزة تجزّئ السلسلة إلى جزأين لهما نفس التكرار.

🧮 الطريقة

نرتّب القيم تصاعديّا (أو تنازليّا) بصورة فرديّة، ثمّ:

  • \(N\) فرديّ ← القيمة ذات الرتبة \(\dfrac{N+1}{2}\).
  • \(N\) زوجيّ ← المعدّل الحسابي للقيمتين ذواتي الرتبتين \(\dfrac{N}{2}\) و \(\dfrac{N}{2}+1\).
مثال: أعداد \(14\) تلميذا. \(N=14\) زوجيّ ← الرتبتان \(7\) و \(8\)، وقيمتاهما \(11\) و \(12\):
\(\mathrm{Me} = \dfrac{11+12}{2} = 11{,}5\).

⚠️ الرتب تُحسب على الأفراد، لا على سطر القيم.
🪜

التكرارات التراكميّة

اضغط للكشف عن الأداة

التراكمي الصاعد والنازل

⬆️ التراكمي الصاعد

عند كلّ قيمة: مجموع تكرارات هذه القيمة وما قبلها. يجيب عن «كم فردا قيمته أقلّ من…؟».

⬇️ التراكمي النازل

عند كلّ قيمة: مجموع تكرارات هذه القيمة وما بعدها. يجيب عن «كم فردا قيمته أكبر من…؟».

مثال: التكرارات \(2\;5\;9\;7\;4\;3\) (والتكرار الجملي \(30\)).
التراكمي الصاعد: \(2\;;\;7\;;\;16\;;\;23\;;\;27\;;\;30\).

💡 الرتبتان \(15\) و \(16\) تقعان في القيمة الثالثة ← هذا هو الطريق إلى الموسّط.
✅ آخر عدد في التراكمي الصاعد يساوي دائما \(N\).
🧭

أيّ مؤشّر أختار؟

اضغط للكشف عن المقارنة

المعدّل · الموسّط · المنوال · المدى

📊 أربعة مؤشّرات

المؤشّرما يقوله
المعدّلالقيمة المتوسّطة للمجموعة
الموسّطالقيمة التي تفصل النصف عن النصف
المنوالالقيمة ذات أكبر تكرار
المدىأكبر قيمة \(-\) أصغر قيمة
🔑 الفرق الحاسم: المعدّل يتأثّر بالقيم الشاذّة (أجر واحد مرتفع يجذبه إلى الأعلى)، والموسّط لا يتأثّر بها.

المؤشّران لا يتنافسان: قراءة سلسلة تحتاج إليهما معا، مع المدى والمنوال.
🎲

الظاهرة العشوائيّة

اضغط للكشف عن التعريف

التجربة العشوائيّة والعيّنة

📌 التعريف

نقول عن تجربة إنّها عشوائيّة عندما لا يمكن أن نجزم بصفة قطعيّة بنتيجتها قبل ظهورها: سحب قريصة، رمي نرد.

🔬 العيّنة

نسمّي عيّنة مقاسها \(n\) السلسلة الإحصائية المشكّلة من النتائج المتحصّل عليها عند تكرار التجربة \(n\) مرّة وفي نفس الظّروف.

⭐ الملاحظة الأساسيّة: كلّما كبرت العيّنة، استقرّ تواتر النتيجة واقترب من عدد ثابت هو احتمالها.

⚠️ الحكم على ظاهرة عشوائيّة من عدد قليل من التجارب خطأ: \(14\) نتيجة حمراء من \(24\) سحبة لا تدلّ على شيء.
🎯

الاحتمال

اضغط للكشف عن الصيغة

حساب الاحتمال

📌 القاعدة

عندما تكون الحالات متساوية الإمكان:

احتمال الحدث = عدد الحالات الملائمة ÷ عدد الحالات الممكنة

📏 الحصر

الاحتمال عدد بين \(0\) و \(1\): يساوي \(0\) لحدث مستحيل، و \(1\) لحدث أكيد.

مثال: كيس فيه \(3\) قريصات حمراء و \(2\) زرقاء.
احتمال الأحمر \(= \dfrac{3}{5} = 0{,}6\) أي \(60\,\%\)
احتمال الأزرق \(= \dfrac{2}{5} = 0{,}4\) أي \(40\,\%\)
احتمال الأخضر \(= \dfrac{0}{5} = 0\) (مستحيل)
احتمال أحمر أو أزرق \(= \dfrac{5}{5} = 1\) (أكيد)
🌳

شجرة الاختيار

اضغط للكشف عن الطريقة

عدّ الحالات الممكنة

📌 لماذا؟

قبل حساب أيّ احتمال يجب معرفة عدد الحالات الممكنة. شجرة الاختيار تعرضها كلّها دون نسيان ولا تكرار.

🧮 الطريقة

فرع لكلّ إمكانيّة في الاختيار الأوّل، ثمّ من كلّ فرع تنطلق فروع الاختيار الثاني… وعدد الحالات هو عدد الأغصان النهائيّة.

مثال: بالأرقام \(1\) و \(2\) و \(3\)، كم عددا ذا رقمين مختلفين يمكن تكوينه؟
\(3\) اختيارات للرقم الأوّل، ثمّ \(2\) للرقم الثاني ← \(3\times 2 = 6\) أعداد.

وإذا سُمح بتكرار الرقم: \(3\times 3 = 9\) أعداد.
💡 اضغط على أيّ بطاقة لقلبها — زرّ Escape يُرجع الكلّ