⚡ مراجعة: القوى في ℚ ⚡

📌 التسمية

في الكتابة \(a^{n}\):

ونقرأ: «\(a\) أُسّ \(n\)» أو «\(a\) قوة \(n\)».

📌 المعنى

إذا كان \(n\) عدداً صحيحاً موجباً:

⚠️ لا تخلط

الأساس هو العدد المتكرّر، والدليل هو عدد المرّات. فـ \(2^{3}=8\) بينما \(3^{2}=9\).

📏 القاعدة

عندما يكون الأساس نفسه، نُبقيه ونجمع الدليلين.

⚠️ خطأ شائع

❌ \(2^{3}\times2^{4} = 4^{7}\) — لا يُضرب الأساسان.
✅ الأساس يبقى كما هو: \(2^{7}\).

📏 القاعدة

نُبقي الأساس ونطرح الدليلين.

⚠️ انتبه إلى الترتيب

الطرح ليس تبديلياً: \(m-n\) وليس \(n-m\). دليل البسط أوّلاً.

📏 القاعدة

نُبقي الأساس ونضرب الدليلين.

⚠️ لا تخلط مع الجداء

❌ \(\left(2^{3}\right)^{4} = 2^{7}\)
✅ هنا نَضرب: \(2^{12}\). الجمع للجداء \(a^{m}\times a^{n}\)، والضرب لقوة القوة.

📏 الجداء

عندما يكون الدليل نفسه والقاعدتان مختلفتين، نضرب الأساسين ونُبقي الدليل.

📏 خارج القسمة

🔎 كيف أميّز؟

انظر إلى ما هو مشترك:
• الأساس مشترك ← نجمع أو نطرح الدليلين
• الدليل مشترك ← نضرب أو نقسم القاعدتين

📏 الدليل صفر

لماذا؟ لأنّ \(\dfrac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n} = a^{0}\)، وهو أيضاً يساوي \(1\).

📏 الدليل السالب

⚠️ خطأ شائع

❌ \(2^{-3} = -8\) — الدليل السالب لا يجعل العدد سالباً، بل يقلبه.
✅ \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\).

📏 الأساس سالب

إذا كان الأساس سالباً، فإنّ إشارة النتيجة تتعلّق بزوجية الدليل:

🔴 القوسان يغيّران كلّ شيء

\((-2)^{2} = 4\)  لأنّ الأساس هو \(-2\)
\(-2^{2} = -4\)  لأنّ الأساس هو \(2\) والإشارة خارج القوة

📏 القاعدة

📌 الكتابة العلمية

كلّ عدد يُكتب على الشكل \(a\times10^{n}\) حيث \(1 \le |a| < 10\) و \(n\) عدد صحيح نسبي.

📏 نفس الأساس

\(a^{m}\times a^{n} = a^{m+n}\)
\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}\)
\(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m\times n}\)

📏 نفس الدليل

\(a^{n}\times b^{n} = (ab)^{n}\)
\(\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\)

📏 حالات خاصّة

\(a^{0} = 1\)  ·  \(a^{1} = a\)  ·  \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\)