🔢 مراجعة: الأعداد الكسرية ℚ

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

📚

تعريف مجموعة ℚ

اضغط للكشف عن التعريف والأمثلة

📚 تعريف مجموعة ℚ

📌 التعريف

مجموعة الأعداد الكسرية (النسبية) ℚ هي مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر:

$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$$

حيث $a$ هو البسط و $b$ هو المقام

💡 الرمز

نرمز لمجموعة الأعداد الكسرية بالحرف ℚ (من الكلمة الإيطالية Quoziente وتعني "خارج القسمة")

✨ أمثلة

• $\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}$

• $\frac{-7}{5} \in \mathbb{Q}$

• $5 = \frac{5}{1} \in \mathbb{Q}$ (كل عدد صحيح هو كسر)

• $0.5 = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$

⚠️ تنبيه هام

المقام لا يمكن أن يكون صفراً: $\frac{a}{0}$ غير معرّف!

📦

المجموعات الجزئية

العلاقة مع ℕ و ℤ و ℚ⁺ و ℚ⁻

📦 المجموعات الجزئية

📌 العلاقة مع المجموعات الأخرى

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$

• كل عدد طبيعي هو عدد صحيح نسبي

• كل عدد صحيح نسبي هو عدد كسري

📌 ℚ⁺ و ℚ⁻ و ℚ*

$$\mathbb{Q}^+ = \left\{x \in \mathbb{Q} \mid x > 0\right\}$$
$$\mathbb{Q}^- = \left\{x \in \mathbb{Q} \mid x < 0\right\}$$
$$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$$

✨ أمثلة

• $\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}^+$

• $\frac{-5}{7} \in \mathbb{Q}^-$

• $5 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

✂️

تبسيط الكسور

القسمة على القاسم المشترك الأكبر

✂️ تبسيط الكسور

📌 التعريف والطريقة

تبسيط كسر يعني قسمة البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD.

$$\frac{a}{b} = \frac{a \div d}{b \div d}, \quad d = \text{PGCD}(a, b)$$

✨ أمثلة

$\text{PGCD}(12,18)=6$ : $\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}$

$\text{PGCD}(24,36)=12$ : $\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$

💡 الكسر غير القابل للاختزال

عندما يكون PGCD(البسط، المقام) $=1$. مثلاً $\frac{3}{5}$ غير قابل للاختزال.

🔄

الاختزال إلى نفس المقام

باستعمال المضاعف المشترك الأصغر

🔄 الاختزال إلى نفس المقام

📌 الطريقة

لمقارنة أو جمع أو طرح كسرين نحتاج إلى نفس المقام:

1. نحسب PPCM(المقامين). 2. نضرب كلّ كسر في العدد المناسب.

✨ مثال

$\text{PPCM}(3,4)=12$ :

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$

✨ مثال 2

$\text{PPCM}(6,9)=18$ :

$$\frac{1}{6} = \frac{3}{18}, \qquad \frac{2}{9} = \frac{4}{18}$$

⚖️

مقارنة الكسور

ثلاث طرق للمقارنة

⚖️ مقارنة الكسور

📌 الطريقة 1: نفس المقام

$$\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \Leftrightarrow a < b$$

مثال: $\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$ لأن $3 < 5$

📌 الطريقة 2: الاختزال

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ و $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ إذن $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$

📌 الطريقة 3: الضرب التبادلي

$$\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \times d < b \times c$$

مثال: $\frac{3}{5}$ و $\frac{4}{7}$ : $3\times7=21 > 5\times4=20$ إذن $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$

📏

الكسور على المحور

تمثيل كسر على المستقيم المدرج

📏 الكسور على المحور

📌 وضع كسر على المحور

لوضع $\frac{a}{b}$ على المحور:

  • نقسم الوحدة إلى $b$ أجزاء متساوية
  • نأخذ $a$ جزءاً من هذه الأجزاء

✨ مثال: $\frac{3}{4}$

نقسم المسافة بين $0$ و $1$ إلى $4$ أجزاء ونأخذ $3$ أجزاء.

💡 الكسور الأكبر من 1

مثلاً $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ : نضعه بعد $1$ بمسافة $\frac{3}{4}$.

🔟

الكسور العشرية

المقام قوة للعدد 10

🔟 الكسور العشرية

📌 التعريف

الكسر العشري هو كسر مقامه قوة للعدد $10$ :

$$\frac{a}{10^n}, \quad n \in \mathbb{N}^*$$

✨ أمثلة

$\frac{3}{10} = 0.3$ ، $\frac{7}{100} = 0.07$ ، $\frac{123}{100} = 1.23$

🔄 تحويلات

كسر ← عشري: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 0.75$

عشري ← كسر: $0.25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$

💡 ملاحظة

كل كسر عشري هو عدد كسري، لكن ليس كل عدد كسري عشرياً: $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$

➕

العمليات في ℚ

الجمع والطرح والضرب والقسمة

➕✖️ العمليات في ℚ

📌 الجمع والطرح

$$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$$

مقامان مختلفان: نختزل إلى نفس المقام أولاً. مثال: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

📌 الضرب

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

مثال: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$

📌 القسمة

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

مثال: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$

💡 قواعد الإشارات

$(+)(+) = (+)$ ، $(+)(-) = (-)$ ، $(-)(-) = (+)$

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها