🔢 مراجعة: الأعداد الصحيحة النسبية ℤ

اضغط على البطاقات لقلبها واكتشاف المحتوى

📚

تعريف مجموعة ℤ

اضغط للكشف عن التعريف والأمثلة

📚 تعريف مجموعة ℤ

📌 التعريف

مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية ℤ تضمّ:

  • الأعداد الصحيحة الموجبة: $1, 2, 3, 4, \ldots$
  • الصفر: $0$
  • الأعداد الصحيحة السالبة: $-1, -2, -3, -4, \ldots$
$$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

💡 الرمز

نرمز لها بالحرف ℤ (من الكلمة الألمانية Zahlen وتعني "أعداد").

✨ أمثلة

• $5 \in \mathbb{Z}$ ، $-7 \in \mathbb{Z}$ ، $0 \in \mathbb{Z}$

• $2.5 \notin \mathbb{Z}$

📦

المجموعات الجزئية

ℕ و ℕ* و ℤ⁺ و ℤ⁻

📦 المجموعات الجزئية

📌 ℕ و ℕ*

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$
$$\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \ldots\}$$

ℕ* هي ℕ بدون الصفر.

📌 ℤ⁺ و ℤ⁻

$$\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \ldots\} \quad (=\mathbb{N}^*)$$
$$\mathbb{Z}^- = \{\ldots, -3, -2, -1\}$$

🔗 العلاقة بينها

$$\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$
↔️

الأعداد المتقابلة

عددان مجموعهما صفر

↔️ الأعداد المتقابلة

📌 التعريف

عددان متقابلان هما عددان مجموعهما يساوي صفراً:

$$a + (-a) = 0$$

💡 الخصائص

  • متقابل عدد موجب عدد سالب، والعكس بالعكس
  • الصفر متقابل لنفسه: $-0 = 0$
  • $-(-a) = a$

✨ أمثلة

• متقابل $5$ هو $-5$ لأنّ $5 + (-5) = 0$

• متقابل $-7$ هو $7$

• $-(-3) = 3$

📐

القيمة المطلقة |x|

المسافة إلى الصفر

📐 القيمة المطلقة

📌 التعريف

القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر على المحور:

$$|a| = \begin{cases} a & \text{إذا } a \geq 0 \\ -a & \text{إذا } a < 0 \end{cases}$$

💡 الخصائص

  • $|a| \geq 0$ دائماً
  • $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
  • $|-a| = |a|$

✨ أمثلة

• $|5| = 5$ ، $|-7| = 7$ ، $|0| = 0$

• المسافة بين $-3$ و $5$ : $|5-(-3)| = |8| = 8$

⚖️

المقارنة والترتيب

قواعد ترتيب الأعداد النسبية

⚖️ المقارنة والترتيب

📌 قواعد المقارنة

  • كل عدد موجب أكبر من الصفر، وكل عدد سالب أصغر منه
  • كل عدد موجب أكبر من أي عدد سالب
  • من بين عددين سالبين، الأكبر هو ذو القيمة المطلقة الأصغر

✨ أمثلة

• $7 > -10$ ، $-2 > -5$ (لأنّ $|-2| < |-5|$)

📊 الترتيب والخصائص

$$\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots$$

إذا كان $a < b$ : فإنّ $a+c < b+c$ ؛ والضرب في عدد سالب يعكس المتراجحة.

📏

المحور المدرج

تمثيل الأعداد على مستقيم

📏 المحور المدرج

📌 التعريف

المحور المدرج تمثيل هندسي للأعداد الصحيحة النسبية على مستقيم.

🔢 عناصر المحور

  • الأصل O : النقطة التي تمثّل الصفر
  • وحدة الطول : المسافة بين عددين متتاليين
  • الاتجاه : نحو اليمين للموجب، نحو اليسار للسالب
➕

العمليات في ℤ

الجمع والطرح وقواعد الإشارات

➕➖ العمليات في ℤ

📌 الجمع

نفس الإشارة: نجمع القيمتين المطلقتين ونحتفظ بالإشارة.

$(+5)+(+3)=+8$ ، $(-7)+(-2)=-9$

إشارتان مختلفتان: نطرح القيمتين ونأخذ إشارة الأكبر قيمةً مطلقةً.

$(+8)+(-3)=+5$ ، $(-10)+(+4)=-6$

📌 الطرح

$$a - b = a + (-b)$$

$5-8 = 5+(-8) = -3$ ، $6-(-4) = 6+4 = 10$

💡 قواعد الإشارات

$$(+)(+)=(+),\ (-)(-)=(+),\ (+)(-)=(-)$$

إشارتان متشابهتان ← موجب ؛ إشارتان مختلفتان ← سالب.

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها