🎯 التناسبية والمعادلات 🎯

رحلة مثيرة في عالم الكسور والمعادلات - السنة السابعة أساسي

📊

التناسبية - التعريف

اضغط لاكتشاف المفهوم الأساسي

التناسبية - Proportionnalité

📌 التعريف

مقداران متناسبان إذا كان أحدهما يساوي الآخر مضروبا في عدد ثابت يسمى معامل التناسب

إذا كان \(y\) متناسبا مع \(x\) فإن:
\(y = k \times x\)
حيث \(k\) معامل التناسب

🎯 جدول التناسب

\(x\) 2 3 5
\(y\) 6 9 15

معامل التناسب: \(k = \dfrac{6}{2} = \dfrac{9}{3} = \dfrac{15}{5} = 3\)

✖️

خاصية الجداء المتقاطع

اضغط لاكتشاف الخاصية الذهبية

خاصية الجداء المتقاطع

📐 القانون

في جدول تناسب، حاصل ضرب القطرين متساويان

\(a\) \(b\)
\(c\) \(d\)

\(a \times d = b \times c\)
مثال:

3 5
6 10

التحقق: \(3 \times 10 = 30\) و \(5 \times 6 = 30\) ✓

🎪 الاستخدام

نستخدم هذه الخاصية لإيجاد المجهول في جدول تناسب

🔍

إيجاد المجهول في التناسب

اضغط لتتعلم الطريقة

إيجاد المجهول - الطرق

📋 الطريقة 1: معامل التناسب

نقسم قيمة السطر الثاني على قيمة السطر الأول المقابلة

مثال: أوجد \(x\)
4 7
12 \(x\)

الحل:
معامل التناسب: \(k = \dfrac{12}{4} = 3\)

إذن: \(x = 7 \times 3 = 21\)

📋 الطريقة 2: الجداء المتقاطع

نستخدم: \(a \times d = b \times c\)

نفس المثال:
\(4 \times x = 7 \times 12\)
\(4x = 84\)
\(x = \dfrac{84}{4} = 21\)
🎲

التناسب مع الكسور

اضغط لاستكشاف الأمثلة

التناسب مع الكسور

مثال 1: أوجد \(x\)
\(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{5}{4}\)
\(\dfrac{4}{3}\) \(x\)

الحل بالجداء المتقاطع:
\(\dfrac{2}{3} \times x = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{4}{3}\)

\(\dfrac{2}{3} \times x = \dfrac{5 \times 4}{4 \times 3} = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}\)

\(x = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5 \times 3}{3 \times 2} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}\)
مثال 2: أوجد \(x\)
\(\dfrac{3}{5}\) \(x\)
\(\dfrac{9}{10}\) \(\dfrac{6}{5}\)

الحل بمعامل التناسب:
\(k = \dfrac{9}{10} \div \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{10} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2}\)

\(x = \dfrac{6}{5} \div \dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{5} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\)
⚖️

المعادلات من نوع ax+b=c

اضغط لتعلم الحل

المعادلة: \(ax + b = c\)

📌 التعريف

معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد حيث:

  • \(a\) : معامل المجهول
  • \(b\) : حد ثابت
  • \(c\) : الطرف الثاني
  • \(x\) : المجهول المطلوب

🎯 خطوات الحل

  1. نطرح \(b\) من الطرفين: \(ax = c - b\)
  2. نقسم الطرفين على \(a\): \(x = \dfrac{c-b}{a}\)
  3. نبسط الناتج إن أمكن
\(ax + b = c\)
\(ax = c - b\)
\(x = \dfrac{c - b}{a}\)
🎨

معادلات مع كسور - المستوى 1

اضغط لحل المعادلة

معادلات بسيطة مع كسور

مثال 1: حل المعادلة
\(\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2}\)

🔧 الحل خطوة بخطوة:

  1. نطرح \(\dfrac{1}{4}\) من الطرفين:
    \(\dfrac{2}{3}x = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4}\)
  2. نوحد المقامات في الطرف الأيمن (المقام المشترك = 4):
    \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\)
  3. إذن: \(\dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{4}\)
  4. نضرب الطرفين في \(\dfrac{3}{2}\):
    \(x = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{8}\)
الحل النهائي: \(x = \dfrac{15}{8}\)
التحقق:
\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{15}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{30}{24} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\) ✓
🌟

معادلات مع كسور - المستوى 2

اضغط لحل معادلة أصعب

معادلات متوسطة مع كسور

مثال 2: حل المعادلة
\(\dfrac{3}{4}x + \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{10}\)

🔧 الحل خطوة بخطوة:

  1. نطرح \(\dfrac{2}{5}\) من الطرفين:
    \(\dfrac{3}{4}x = \dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{5}\)
  2. نوحد المقامات (المقام المشترك = 10):
    \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}\)
  3. إذن: \(\dfrac{3}{4}x = \dfrac{3}{10}\)
  4. نضرب الطرفين في \(\dfrac{4}{3}\):
    \(x = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}\)
الحل النهائي: \(x = \dfrac{2}{5}\)
التحقق:
\(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{7}{10}\) ✓
🚀

معادلات مع كسور - المستوى 3

اضغط للتحدي الكبير

معادلات متقدمة مع كسور

مثال 3: حل المعادلة
\(\dfrac{5}{6}x + \dfrac{3}{8} = \dfrac{11}{12}\)

🔧 الحل خطوة بخطوة:

  1. نطرح \(\dfrac{3}{8}\) من الطرفين:
    \(\dfrac{5}{6}x = \dfrac{11}{12} - \dfrac{3}{8}\)
  2. نوحد المقامات (المقام المشترك = 24):
    \(\dfrac{11}{12} = \dfrac{22}{24}\) و \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}\)
    \(\dfrac{22}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{13}{24}\)
  3. إذن: \(\dfrac{5}{6}x = \dfrac{13}{24}\)
  4. نضرب الطرفين في \(\dfrac{6}{5}\):
    \(x = \dfrac{13}{24} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{78}{120} = \dfrac{13}{20}\)
الحل النهائي: \(x = \dfrac{13}{20}\)
🎪

مسائل تطبيقية - التناسب

اضغط لحل مسائل واقعية

تطبيقات على التناسب

مسألة 1:
اشترى أحمد \(\dfrac{2}{3}\) كغ من التفاح بـ \(\dfrac{5}{4}\) دينار. كم يدفع لشراء \(\dfrac{4}{3}\) كغ؟

الحل:
الكمية (كغ) \(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{4}{3}\)
الثمن (د) \(\dfrac{5}{4}\) \(x\)

بالجداء المتقاطع:
\(\dfrac{2}{3} \times x = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{2}{3}x = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}\)
\(x = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}\) دينار
مسألة 2:
سيارة تقطع \(\dfrac{3}{4}\) من الطريق في \(\dfrac{2}{5}\) ساعة. كم تحتاج لقطع كامل الطريق؟

الحل:
معامل التناسب: \(k = \dfrac{2}{5} \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{15}\)

الزمن الكلي: \(1 \times \dfrac{8}{15} = \dfrac{8}{15}\) ساعة
🏆

مسائل تطبيقية - المعادلات

اضغط لحل مسائل واقعية

تطبيقات على المعادلات

مسألة 1:
مستطيل طوله \(\dfrac{5}{4}\) م. إذا أضفنا \(\dfrac{1}{2}\) م لعرضه أصبح محيطه \(\dfrac{9}{2}\) م. ما عرضه؟

الحل:
نفرض العرض = \(x\) م
المحيط = \(2(\text{الطول} + \text{العرض})\)
\(2(\dfrac{5}{4} + x + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{9}{2}\)
\(2(\dfrac{5}{4} + x + \dfrac{2}{4}) = \dfrac{9}{2}\)
\(2(\dfrac{7}{4} + x) = \dfrac{9}{2}\)
\(\dfrac{7}{2} + 2x = \dfrac{9}{2}\)
\(2x = \dfrac{9}{2} - \dfrac{7}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\)
\(x = \dfrac{1}{2}\) م
مسألة 2:
عمر سارة هو \(\dfrac{3}{5}\) من عمر أخيها. إذا أضفنا \(\dfrac{7}{10}\) سنة لعمرها أصبح \(\dfrac{6}{5}\) سنة. ما عمرها؟

الحل:
نفرض عمرها = \(x\)
\(\dfrac{3}{5}x + \dfrac{7}{10} = \dfrac{6}{5}\)
\(\dfrac{3}{5}x = \dfrac{6}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{12}{10} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\)
\(x = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{6}\) سنة
💡

نصائح ذهبية للنجاح

اضغط للحصول على النصائح

نصائح للتفوق

🎯 للتناسب

  • ✅ تأكد دائما من أن الجدول هو جدول تناسب
  • ✅ استخدم الطريقة الأسهل (معامل التناسب أو الجداء المتقاطع)
  • ✅ تحقق من النتيجة بحساب معامل التناسب
  • ✅ بسط الكسور دائما في النهاية

⚖️ للمعادلات

  • ✅ اعزل المجهول خطوة خطوة
  • ✅ وحد المقامات قبل الجمع أو الطرح
  • ✅ تحقق من الحل بالتعويض
  • ✅ بسط الناتج النهائي

📝 نصائح عامة

  • 🌟 رتب عملك وكتابتك
  • 🌟 اكتب الوحدات في المسائل
  • 🌟 راجع حساباتك
  • 🌟 تدرب كثيرا!
🎖️

تمارين التحدي

اضغط لاختبار مهاراتك

تحدى نفسك!

تحدي 1: حل المعادلة
\(\dfrac{7}{8}x + \dfrac{5}{12} = \dfrac{13}{6}\)

تلميح: المقام المشترك هو 24
تحدي 2: أوجد \(x\)
\(\dfrac{5}{6}\) \(x\)
\(\dfrac{7}{9}\) \(\dfrac{14}{15}\)

تلميح: استخدم الجداء المتقاطع
تحدي 3:
إذا كانت \(\dfrac{2}{5}x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{5}\)، أوجد قيمة \(3x\)

تلميح: أوجد \(x\) أولا ثم اضربه في 3

🏆 تهانينا!

إذا حللت هذه التمارين بنجاح، فأنت متمكن من الدرس! 🎉

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها واكتشاف المحتوى